Вписанные фигуры в круг – решение задач
В геометрии существует определенная классификация, согласно которой фигуры находятся внутри других фигур, например, круг внутри треугольника, четырехугольник внутри круга и т. д. Формы называются вписанными и описанными . Внутренняя форма известна как «вписанные формы», а внешняя форма известна как «описанные формы». Предположим, что круг вписан в любую другую форму (многоугольник), ребра многоугольника (все касающиеся круга) являются касательными к кругу.
Прямоугольные треугольники, вписанные в окружность
Когда треугольник вставлен в окружность таким образом, что одна из сторон треугольника равна диаметру окружности, то треугольник является прямоугольным.
Это также называют теоремой Фалеса .
Доказательство:
The below diagram has the OC line segment added to it.
Since segments OB, OC, and OA are all radii of the same circle, they are all congruent. Therefore, both triangles COB and COA are isosceles triangles. Angles B and BCO are congruent since they are opposite congruent sides of the isosceles triangle COB. Similarly, angles A and ACO are congruent because they are opposite congruent sides of the triangle COA.
The sum of the measures of the three angles in a triangle is 180 degrees and so,
m(∠A) + m(∠B) + m(∠C) = 180
Using the angle equivalences from the previous paragraph
m(∠C) = m(∠BCO) + m(∠ACO)
= m(∠CBO) + m(∠CAO)
= m(∠B) + m(∠A)
Substituting this into the previous formula we find
2m(∠A) + 2m(∠B) = 180
and so m(∠A) + m(∠B) = 90. Since the measures of the three angles of triangle ABC add to 180 this means that m(∠C) = 90° and so triangle ABC is a right triangle as desired.
Вопрос: Треугольник ΔABC вписан в окружность О, а сторона АС проходит через центр окружности. Найдите диаметр круга.
Отвечать:
We know that the triangle inscribed by a chord that passes through the centre of the circle is a right triangle.
Given, BC = 16 and AB = 12.
Hypotenuse theorem can be applied here,
The diameter of the circle is 20.
Вписанные углы в окружности
Вписанный угол в окружность определяется таким образом, что две его стороны/лучи действуют как хорда к окружности, а вершина угла расположена на окружности окружности.
Когда добавляется еще один угол, вершина которого находится в центре, а лучи встречаются с концами предыдущего угла, угол, стягиваемый центральным углом, становится в два раза больше угла, стягиваемого другим углом.
Циклические четырехугольники
Когда четырехугольник вписан в окружность так, что все вершины четырехугольника касаются окружности. Есть определенные свойства для вписанного четырехугольника.
Свойство: Противолежащие углы вписанного четырехугольника всегда в сумме дают 180°. ИЛИ Можно сказать, что противоположные углы являются дополнительными по своей природе.
Здесь ∠A + ∠C = 180°.
∠В + ∠D = 180°
Когда все углы сложены, ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 180 + 180 = 360°.
Вопрос 1: На рисунке ниже найдите другой угол.
Отвечать:
Since both the angles inscribed are from the same arc, the angles must be equal.
So, the other angle is also 75o
Вопрос 2: На рисунке ниже найдите длину малой дуги AC.
Отвечать:
By the theorem studied earlier, we know that the angle inscribed on the circle by an arc is half of the angle inscribed at the centre by that same arc. Therefore, ∠AOC = 60°.
Now we have the angle inscribed at the centre and the radius of the circle is 4cm(given).
The length of the arc can be found out by
30° is given as
in radian.
So, plugging the values in the above formula.
So, the length of the arc is 2.0943.
Вопрос 3: На данном рисунке CD — хорда, равная радиусу окружности, AB — диаметр, как показано на рисунке, Хорды AC и BD вытянуты за пределы окружности и пересекаются в точке E. Докажите, что ∠AEB = 60°.
Отвечать:
To Prove: ∠AEB = 60°
Construction: Join OC, OD and BC with dotted lines.
Proof: △COD is an equilateral triangle since all three sides are equal to the radius of the circle.
So, ∠COD= 60° and ∠CBD = 30° (half of the angle subtended at the centre)
In △ACB, ∠ACB = 90°
∠BCE= 180-90 (as AE is a straight line) = 90°
In △BCE, ∠BEC + 90+ 30 = 180°
∠BEC = 60°
Therefore, ∠AEB = 60°