ВОРОТА | ВОРОТА КС 2021 | Набор 1 | Вопрос 53

Отношение R называется круговым, если aRb и bRc вместе влекут cRa.

Какой из следующих вариантов правильный?
(A) Если отношение S рефлексивно и симметрично, то S является отношением эквивалентности.
(B) Если отношение S круговое и симметричное, то S является отношением эквивалентности.
(C) Если отношение S рефлексивно и циклично, то S является отношением эквивалентности.
(D) Если отношение S транзитивно и циклично, то S является отношением эквивалентности.

Ответ: (С)
Объяснение: если R циклическое и рефлексивное, то R является отношением эквивалентности на A.

Доказательство :
Предположим, что R является круговым и рефлексивным. Мы хотим доказать, что R является отношением эквивалентности.
Мы уже знаем, что R рефлексивно, поэтому нам нужно доказать, что R симметричен и транзитивен.

Для симметрии предположим, что x, y ∈ A, так что xRy. Мы хотим доказать, что yRx.
Поскольку R рефлексивно и y ∈ A, мы знаем, что yRy.
Поскольку R круговой, а xRy и yRy, мы знаем, что yRx.
Таким образом, R симметричен.

Для транзитивности предположим, что x, y, z ∈ A, так что xRy и yRz. Мы хотим доказать, что xRz.

Поскольку R круговой, а xRy и yRz, мы знаем, что zRx.
Поскольку мы уже доказали, что R симметричен, из zRx следует, что xRz. Таким образом, R транзитивен.

Следовательно, R — отношение эквивалентности.

Викторина этого вопроса