ВОРОТА | ВОРОТА КС 2021 | Набор 1 | Вопрос 45

Рассмотрим два утверждения.

S1: существуют случайные величины X и Y такие, что

S2: для всех случайных величин X и

Какой из следующих вариантов правильный?
(A) И S1, и S2 верны
(B) S1 верно, но S2 ложно
(C) S1 ложно, но S2 верно
(D) И S1, и S2 ложны

Ответ: (Д)
Объяснение: Теорема: квадрат ковариации меньше или равен произведению дисперсий.

Пусть X и Y — случайные величины.
Пусть дисперсии X и Y существуют и конечны.
Затем:
(cov(X,Y)) ² ≤ var(X)var(Y)
где cov(X,Y) обозначает ковариацию X и Y.

Доказательство :
Мы имеем, по определению дисперсии, что оба:

Е((Х-Е(Х)) ² )
а также:
Е((У-Е(У)) ² )
существуют и конечны.

Следовательно:

(cov(X,Y)) ² = (E((X−E(X))(Y−E(Y)))) ²
Определение ковариации
(cov(X,Y)) ² ⩽ E((X−E(X)) ² )E((Y−E(Y)) ² )
Квадрат ожидаемого результата меньше или равен произведению ожидаемых квадратов
(ков(Х,Y)) ² = вар(Х)вар(Y)
Определение дисперсии.

Следовательно, оба данных утверждения (S1) и (S2) ложны.
Викторина этого вопроса