Уравнение гиперболы

Опубликовано: 8 Октября, 2022

В математике гипербола — это значительное коническое сечение, которое образуется, когда плоская поверхность пересекает двойной конус, но, конечно, не в центре. В результате пересечения двойного конуса и плоской поверхности образуются две неограниченные кривые, являющиеся зеркальным отражением друг друга. Гипербола симметрична относительно сопряженной оси и во многом напоминает эллипс. Гипербола — это геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух фокусов является фиксированной величиной. Эта разница получается путем вычитания расстояния до ближнего фокуса из расстояния до дальнего фокуса. Если P (x, y) — точка на гиперболе и F, F' — два фокуса, то геометрическое место гиперболы есть PF-PF' = 2a.

Уравнение гиперболы

Стандартные уравнения гиперболы:

(or)

Гипербола имеет два стандартных уравнения. Эти уравнения гиперболы основаны на ее поперечной оси и сопряженной оси.

Стандартное уравнение гиперболы: [(x ² /a ² ) – (y ² /b ² )] = 1, где ось X — поперечная ось, а ось Y — сопряженная ось.
Кроме того, другое стандартное уравнение гиперболы [(y ² /a ² )- (x ² /b ² )] = 1, где ось Y является поперечной осью, а ось X является сопряженной осью.

Стандартное уравнение гиперболы с центром (h, k) и осью X в качестве поперечной оси и осью Y в качестве сопряженной оси:

Кроме того, другое стандартное уравнение гиперболы с центром (h, k) и осью Y в качестве поперечной оси и осью X в качестве сопряженной оси:

Вывод уравнения гиперболы

Let us consider a point P on the hyperbola whose coordinates are (x, y). From the definition of the hyperbola, we know that the difference between the distance of point P from the two foci F and F’ is 2a, i.e., PF’-PF = 2a.
Let the coordinates of the foci be F (c, o) and F ‘(-c, 0).

Now, by using the coordinate distance formula, we can find the distance of point P (x, y) to the foci F (c, 0) and F ‘(-c, 0).
⇒ √[(x + c)² + (y – 0)²] – √[(x – c)² + (y – 0)²] = 2a
⇒ √[(x + c)² + y²] = 2a + √[(x – c)² + y²]
Now, by squaring on both sides, we get
⇒ (x + c)² + y² = 4a² + (x – c)² + y² + 4a√[(x – c)²+ y²]
⇒ 4cx – 4a² = 4a√[(x – c)² + y²]
⇒ cx – a² = a√[(x – c)² + y²]
Now, by squaring on both sides and simplifying, we get
⇒ [(x²/a²) – (y²/(c² – a²))] = 1
We have, c² = a² + b², so by substituting this in the above equation, we get
⇒ x²/a²– y²/b² = 1
Hence, the standard equation of the hyperbola is derived.
Similarly, we can derive the standard equations of the other hyperbola, i.e., [y²/a² – x²/b²] = 1.

Термины, используемые в гиперболе

В аналитической геометрии гипербола — это коническое сечение, которое получается, когда плоскость пересекает двойной прямоугольный круговой конус под таким углом, что обе половины конуса соединяются. Гипербола может быть описана с использованием таких понятий, как фокусы, директриса, широкая прямая кишка и эксцентриситет.

Давайте проверим несколько важных терминов, относящихся к различным параметрам гиперболы.

Фокусы: гипербола имеет два фокуса с координатами F(c, o) и F'(-c, 0).
Центр гиперболы: Центр гиперболы — это середина линии, соединяющей два фокуса.
Большая ось : длина большой оси гиперболы составляет 2а единиц.
Малая ось: длина малой оси гиперболы составляет 2b единиц.
Вершины: Точки пересечения гиперболы с осью называются вершинами. (а, 0) и (-а, 0) — вершины гиперболы.
Широкая прямая кишка гиперболы : широкая прямая кишка гиперболы — это линия, проходящая через любой из фокусов гиперболы и перпендикулярная поперечной оси гиперболы. Концы широкой прямой кишки лежат на гиперболе, а ее длина равна 2b ² /a.

Поперечная ось: поперечная ось гиперболы — это линия, проходящая через два фокуса и центр гиперболы.
Сопряженная ось: сопряженная ось гиперболы — это линия, проходящая через центр гиперболы и перпендикулярная поперечной оси.
Асимптоты: гипербола имеет пару асимптот, где асимптота — это прямая линия, которая приближается к гиперболе на графике, но никогда не касается.

Equations of asymptotes of pair of asymptotes of a hyperbola: y = (b/a) x and y = -(b/a) x

Директриса: Директриса гиперболы представляет собой фиксированную прямую линию, перпендикулярную оси гиперболы.
Эксцентриситет гиперболы: Эксцентриситет гиперболы представляет собой отношение расстояния точки от фокуса к ее перпендикулярному расстоянию от директрисы. Эксцентриситет гиперболы больше 1, т. е. e > 1.

Eccentricity of a hyperbola (e) = √[1 + (b²/a²)]

Гипербола — это незамкнутая кривая, имеющая две ветви, которые выглядят как зеркальные отражения друг друга. Для любой точки на любой из ветвей абсолютная разница между точкой и фокусами постоянна и равна 2а, где а — расстояние ветви от центра. Формула гиперболы помогает нам найти различные параметры и связанные части гиперболы, такие как уравнение гиперболы, большую и малую оси, эксцентриситет, асимптоты, вершину, фокусы и полуширотную прямую кишку.

Примеры проблем

Задача 1: Определить эксцентриситет гиперболы x ² /64 – y ² /36 = 1.

Решение:

Given,
The equation of the hyperbola is x²/64 – y²/36 = 0
By comparing the given equation with the standard equation of the hyperbola x²/a² – y²/b² = 1, we get
a² = 64, b² = 36
⇒ a = 8, b = 6
We have,
Eccentricity of a hyperbola (e) = √(1 + b²/a²)
⇒ e = √(1 + 6²/8²)
⇒ e = √(1 + 36/64)
⇒ e = √(64 + 36)/64) = √(100/64)
⇒ e = 10/8 = 1.25‬
Hence, the eccentricity of the given hyperbola is 1.25‬.

Задача 2: Если уравнение гиперболы имеет вид [(x-4) ^2/25 ]-[(y-3) ^2/9 ] = 1, найдите длины большой оси, малой оси и широкой прямой кишки.

Решение:

Given,
The equation of the hyperbola is [(x-4)²/25]-[(y-3)²/9] = 1
By comparing the given equation with the standard equation of the hyperbola, (x – h)²/a² – (y – k)²/b² = 1
Here, x = 4 is the major axis and y = 3 is the minor axis.
a² = 25 ⇒ a = 5
b²= 9 ⇒ b = 3
The length of the major axis = 2a = 2 × (5) = 10 units
The length of the minor axis = 2b = 2 × (3) = 6 units
The length of the latus rectum = 2b²/a = 2(3)²/5 = 18/5 = 3.6 units

Задача 3. Найдите вершину, асимптоту, большую ось, малую ось и директрису, если уравнение гиперболы имеет вид [(x-6) ^{2/7 2} ^] -[(y-2) ^2/4 ² ] = 1.

Решение:

Given,
The equation of the hyperbola is [(x-6)²/7²]-[(y-2)²/4²] = 1
By comparing the given equation with the standard equation of the hyperbola, (x – h)²/a² – (y – k)²/b² = 1
h = 6, k = 2, a = 7, b = 4
The vertex of a hyperbola : (h + a, k) and (h – a, k) = (13, 2) and (-1, 2)
The major axis of the hyperbola is x = h ⇒ x = 6
The minor axis of the hyperbola is y = k ⇒ y = 2
The equations of asymptotes of the hyperbola are
y = k − (b / a)x + (b / a)h and y = k+ (b / a)x – (b / a)h
⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 and y = 2 + (4/7)x – (4/7)6
⇒ y = 2 – 0.57x + 3.43 and y = 2 + 0.57x – 3.43
⇒ y = 5.43 – 0.57x and y = -1.43 + 0.57x
The equation of the directrix of a hyperbola is x = ± a²/√(a² + b²)
⇒ x = ± 7²/√(7² + 4²) = ± 49/√65
⇒ x = ± 6.077

Задача 4. Найдите эксцентриситет гиперболы, широкая прямая кишка которой составляет половину сопряженной оси.

Решение:

Given,
The length of latus rectum is half of its conjugate axis.
Let the equation of hyperbola be [(x² / a²) – (y²/ b²)] = 1
Then conjugate axis = 2b
The length of the latus rectum = (2b² / a)
From the given data, (2b² / a) = (1/2) × 2b
⇒ 2b = a
We have,
Eccentricity of a hyperbola (e) = √[1 + (b²/a²)]
Now, substitute a = 2b in the formula of eccentricity
⇒ e = √[1 + (b²/(2b)²]
⇒ e = √[1 + (b²/4b²)] = √(5/4)
⇒ e = √5/2
Hence, the required eccentricity is √5/2.

Задача 5. Найдите вершину, фокусы и уравнения асимптот, если уравнение гиперболы имеет вид [y ² /25]-[x ² /9] = 1.

Решение:

Given,
The equation of the hyperbola is [y²/25]-[x²/9] = 1 = 0
By comparing the given equation with the standard equation of the hyperbola y²/a² – x²/b² = 1, we get
a² = 25, b² = 9 ⇒ a = 5, b = 3
Coordinates of the vertex: (0, 5) and (0, -5)
Coordinates of foci: (0, c) and (0, -c)
We know that, c = √(a² + b²) = √(5² + 3²) = √34 = 5.83
Hence, coordinates of foci: (0, 5.83) and (0, -5.83)
Equations of asymptotes: y = (a/b) x and y = -(a/b) x
⇒ y = (5/3)x and y = -(5/3)x
Thus, equations of asymptotes are: 5x – 3y = and 5x + 3y = 0

Уравнение гиперболы