Универсальная оптимизация vs многомерная оптимизация
Википедия определяет оптимизацию как проблему, при которой вы максимизируете или минимизируете реальную функцию, систематически выбирая входные значения из разрешенного набора и вычисляя значение функции. Это означает, что когда мы говорим об оптимизации, мы всегда заинтересованы в поиске лучшего решения. Итак, предположим, что у человека есть некоторая функциональная форма (например, в форме f (x)), и он пытается найти лучшее решение для этой функциональной формы. Что значит лучше всего? Можно сказать, что он заинтересован в минимизации этой функциональной формы или в максимизации этой функциональной формы.
Как правило, задача оптимизации состоит из трех компонентов.
минимизировать f (x),
по x,
при условии a <x <b
где, f (x): целевая функция
x: переменная решения
a <x <b: ограничение
В зависимости от количества переменных решения оптимизацию можно разделить на две части:
- Задачи одновариантной оптимизации: Однозначная оптимизация может быть определена как нелинейная оптимизация без ограничений, и в этой оптимизации есть только одна переменная решения, для которой мы пытаемся найти значение.
мин f (x)
по x
x ∈ R - Задачи многомерной оптимизации: в задаче многомерной оптимизации должно быть более одной переменной решения в этой оптимизации, для которой мы пытаемся найти значение.
min f (x 1 , x 2 , x 3 … ..x n )
Ниже приведена таблица различий между универсальной оптимизацией и многомерной оптимизацией:
| Универсальная оптимизация | Многовариантная оптимизация |
|---|---|
| Универсальная оптимизация может быть определена как нелинейная оптимизация без ограничений, и в этой оптимизации есть только одна переменная решения, для которой мы пытаемся найти значение. мин f (x) Итак, когда вы смотрите на эту проблему оптимизации, вы обычно пишете ее в приведенной выше форме, где вы говорите, что собираетесь минимизировать f (x) , и эта функция называется целевой функцией. И переменная, которую вы можете использовать для минимизации этой функции, которая называется переменной решения, написана ниже, как здесь, относительно x, и вы также говорите, что x является непрерывным, то есть он может принимать любое значение в строке действительных чисел. | В задаче многомерной оптимизации несколько переменных действуют как переменные решения в задаче оптимизации. z = f (x 1 , x 2 , x 3 … ..x n ) Итак, когда вы смотрите на эти типы проблем, общая функция z может быть некоторой нелинейной функцией переменных решения от x 1 , x 2 , x 3 до x n . Итак, есть n переменных, которыми можно манипулировать или выбирать для оптимизации этой функции z. |
| В случае однозначной задачи оптимизации существует только одна переменная решения. | В случае многомерной задачи оптимизации существует более одной переменной решения. |
| В задаче однозначной оптимизации x - это скалярная переменная, а не векторная переменная. | В задаче многомерной оптимизации x может быть скалярной или векторной переменной. |
| Можно объяснить одномерную оптимизацию, используя изображения в двух измерениях, потому что в направлении x у нас было значение переменной решения, а в направлении y - значение функции. | Однако, если это многовариантная оптимизация, мы должны использовать изображения в трех измерениях. |
| В задаче однозначной оптимизации нет ограничений. | В задаче многомерной оптимизации может не быть случая ограничения, случая ограничения равенства или случая ограничения неравенства. |
| В случае одномерной оптимизации необходимое условие первого порядка для того, чтобы x был минимизатором функции f (x): f '(x) = 0. | В случае безусловной многомерной оптимизации необходимое условие первого порядка для того, чтобы x̄ * был минимизатором функции f (x̄): ∇ f (x̄ * ) = 0 |
| В случае одномерной оптимизации условием второго порядка достаточности x, чтобы быть минимизатором функции f (x), является f ”(x)> 0. | В случае безусловной многомерной оптимизации условие второго порядка достаточности для того, чтобы x̄ * был минимизатором функции f (x̄), имеет вид ∇ 2 f (x̄ * )> 0 |