Треугольник Паскаля - биномиальная теорема

Мы знаем расширения таких терминов, как (x + 2) ² и (x + 3) ³ . Это довольно просто сделать, но иногда мы сталкиваемся с некоторыми выражениями, такими как (x+2) ⁵ . Подобные выражения трудно расширить, мы можем использовать некоторые приемы для упрощения, например,

(х+2) ⁵ = (х+2)(х + 2) ² (х+2) ²

Исследователь работает над биномиальными расширениями, которые включают тысячи показателей. Становится важным знать простой способ их расширения. Это еще много работы, и здесь нам на помощь приходит биномиальная теорема. Это позволяет нам расширять любые общие выражения, такие как (x+ a) ⁿ . Рассмотрим эту теорему подробно.

Биномиальное выражение

Биномиальное выражение определяется как выражение, содержащее два члена, соединенных операторами типа + или -. Например, х + а, х — 6 и т. д. являются примерами биномиальных выражений. Возведение биномиального выражения в степень больше 3 довольно сложно и громоздко. Давайте посмотрим на некоторые биномиальные разложения и попытаемся найти в них какую-то закономерность.

(х + а) ⁰ = 1

(х + а) ¹ = х + а

(х + а) ² = х ² + 2ах + а ²

(х + а) ³ = х ³ + 3а ² х + 3ах ² + а ³

Заметьте, нам нужно знать коэффициенты этих слагаемых, и тогда нам может быть немного проще описать их разложения. Треугольник Паскаля можно использовать для очень быстрого получения этих результатов.

Что такое Треугольник Паскаля?

Он назван в честь известного философа и математика Паскаля, который разработал схему чисел, начинающуюся с 1, а числа под ним представляют собой сумму вышеуказанных чисел. Чтобы начать составлять треугольник Паскаля, сначала запишите число 1. Второй ряд снова записывается двумя единицами. Другие строки генерируются с использованием предыдущих строк для создания треугольника чисел. Каждая строка начинается и заканчивается цифрой 1.

                                                                                            1
                                                                                      1           1
                                                                                1          x          1
                                                                          1        x         x          1

Числа, заданные x, вычисляются путем сложения чисел из предыдущей строки, лежащих слева и справа над данной позицией. На рисунке ниже показан процесс построения треугольника Паскаля.

Таким образом можно построить треугольник Паскаля.

Вопрос 1: Сгенерируйте шестую строку треугольника Паскаля.

Отвечать:

Вопрос 2: Сгенерируйте десятую строку треугольника Паскаля.

Отвечать:

Треугольники Паскаля для расширения биномиальных выражений

Давайте снова посмотрим на приведенные выше уравнения,

(х + а) ⁰ = 1

(х + а) ¹ = х + а

(х + а) ² = х ² + 2ах + а ²

(х + а) ³ = х ³ + 3а ² х + 3ах ² + а ³

Мы можем сделать несколько выводов из этих уравнений для (x + a) ⁿ ,

1. Всегда есть еще один термин, чем значение n.
2. Для каждого члена сумма показателей всегда равна n.
3. Для переменной «x» показатель степени начинается с n и продолжает уменьшаться до нуля. Точно так же для «а» показатель степени начинается с 0 и идет до n.
4. Коэффициенты этих членов задаются треугольником Паскаля.

Давайте посмотрим на пример, предположим, что мы хотим расширить (x + a) ³ с помощью этой концепции расширения. Должно быть четыре термина, и термины должны иметь убывающий показатель «x» и возрастающий показатель «a» соответственно.

(х + а) ³ = С ₁ х ³ + С ₂ х ² а + С _{3 х} а ² + С ₄ а ³

Значения C _{1 ,} C ₂ , C ₃ , и C ₄ - коэффициенты, мы разберемся с коэффициентами с помощью треугольника Паскаля. Давайте посмотрим на треугольник Паскаля с n + 1 строками,

Значения в последней строке дают нам значение коэффициентов C ₁ , C ₂ , C ₃ и C ₄ .

Здесь С ₁ = 1, С ₂ = 3, С ₃ = 3 и С ₄ = 1.

Таким образом, мы можем расширить наши биномиальные выражения.

For any binomial expression, (x + a)ⁿ the expansions is given by, 

(a + b)ⁿ = c₀aⁿb⁰ + c₁a^n-1b¹ + c₂a^n-2b² + …. + c_n-1a¹b^n-1 + c_na⁰bⁿ

The coefficients are given by the n+1 row of the Pascal’s triangle. 

Примеры проблем

Вопрос 1: Разверните и проверьте (a + b) ² .

Решение:

First write the generic expressions without the coefficients.  

 (a + b)² = c₀a²b⁰ + c₁a¹b¹ + c₂a⁰b² 

Now let’s build a Pascal’s triangle for 3 rows to find out the coefficients.  

The values of the last row give us the value of coefficients. 

c₀ = 1, c₁ = 2, c₂ =1

 (a + b)² = a²b⁰ + 2a¹b¹ + a⁰b² 

Thus verified. 

Вопрос 2: Разверните (а + б) ⁴ .

Решение:

First write the generic expressions without the coefficients.  

 (a + b)⁴ = c₀a⁴b⁰ + c₁a³b¹ + c₂a²b² + c₃a¹b³ + c₄a⁰b⁴

Now let’s build a Pascal’s triangle for 5 rows to find out the coefficients.  

The values of the last row give us the value of coefficients. 

c₀ = 1, c₁ = 4, c₂ = 6, c₃ = 4 and c₄ =1. 

Thus, (a + b)⁴ = a⁴b⁰ + 4a³b¹ +6a²b² + 4a¹b³ + a⁰b⁴

Вопрос 3: Разверните (а + б) ⁵ .

Решение:

First write the generic expressions without the coefficients.  

 (a + b)⁵ = c₀a⁵b⁰ + c₁a⁴b¹ + c₂a³b² + c₃a²b³ + c₄a¹b⁴ + c₅a⁰b⁵

Now let’s build a Pascal’s triangle for 6 rows to find out the coefficients.  

The values of the last row give us the value of coefficients. 

c₀ = 1, c₁ = 5, c₂ = 10, c₃ = 10, c₄ =5 and c₅ = 1. 

(a + b)⁵ = a⁵b⁰ + 5a⁴b¹ + 10a³b² + 10a²b³ + 5a¹b⁴ + a⁰b⁵

Вопрос 4: Раскройте (а + б) ⁶ .

Решение:

First write the generic expressions without the coefficients.  

 (a + b)⁶ = c₀a⁶b⁰ + c₁a⁵b¹ + c₂a⁴b² + c₃a³b³ + c₄a²b⁴ + c₅a¹b⁵ + c₆a⁰b⁶  

Now let’s build a Pascal’s triangle for 7 rows to find out the coefficients.  

The values of the last row give us the value of coefficients. 

c₀ = 1, c₁ = 6, c₂ = 15, c₃ = 20, c₄ =15, c₅ = 6 and c₆ = 1. 

(a + b)⁶ = 1a⁶b⁰ + 6a⁵b¹ + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6a¹b⁵ + 1a⁰b⁶