Точные дифференциальные уравнения

Уравнение, в котором есть дифференциальный коэффициент, называется дифференциальным уравнением. Дифференциальное уравнение вида, включающее один или несколько членов, а также производные одной переменной (зависимой переменной) по другой переменной (т. е. независимой переменной)

dy/dx = f(x)

where, “x” is an independent variable, while “y” is a dependent variable in this case.

Example:  dy/dx = 2x

Обыкновенное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если производные в уравнении являются обыкновенными производными.

Пример:

1. dy/dx + 12xy = х ²
2. d ² y/dx ² + 12dy/dx + 9y = е ^х

Уравнение в частных производных

Дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных, если производные в уравнении относятся к двум или более независимым переменным (т.е. в данном уравнении используются частные производные).

Пример: ∂ ² u /∂ x ² =12∂ ² u /∂ t ² (где t и x - независимые переменные)

Порядок дифференциального уравнения

Порядок дифференциального уравнения - это порядок производной высшего порядка уравнения.

Дифференциальное уравнение первого порядка

Как видно из приведенного ниже примера, это дифференциальное уравнение первого порядка со степенью, равной 1. Все линейные уравнения в виде производных имеют первый порядок. Он имеет только первую производную, dy/dx, где x и y — две переменные, и обозначается как

dy/dx = f(x,y) = y ^'

Пример: dy/dx = 2x+3

Дифференциальное уравнение второго порядка

Уравнение, содержащее производную второго порядка, известно как дифференциальное уравнение второго порядка. Это написано следующим образом:

d/dx(dy/dx) = d ² y/dx ² = f ^” (x) = y ^”

Степень дифференциального уравнения

Степень старшей производной в дифференциальном уравнении называется степенью дифференциального уравнения. Степень дифференциального уравнения равна степени производной старшего порядка, где исходная задача представляется в виде полиномиального уравнения с такими производными, как y', y”, y”' и т.д.

Пример:

(d ² y/dx ² ) ⁴ + (d ³ y/dx ³ ) ² + cos x = 0

Здесь порядок = 3 и степень = 2

(у ^"' ) ³ + 12у ^" + 8у ^' + 16 = 0

Здесь степень 3

Однородная функция

Функция f(x, y) называется однородной, если f(kx, ky) = k ⁿ f(x, y), где n — степень

Пример:

f(x,y) = ( ^x3 + ^y3 )/(x+y)

f(kx + ky) = [(kx) ³ + (ky) ³ ]/ (kx + ky)

= k ³ (x ³ + y ³ )/k(x + y)

= к ² f (х, у)

Это однородная функция степени 2.

Дифференциальное уравнение первого порядка и первой степени

Уравнение вида dy/dx = f(x, y) называется дифференциальным уравнением первого порядка и первой степени.

Однородное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение dy/dx = f(x, y) называется однородным дифференциальным уравнением, если f(x, y) — однородная функция и степень должна быть нулевой.

Пример:

 let f(x,y) = (x² + y²)/2xy

f(kx,ky) = [(kx)²+(ky)²]/2(kx)(ky)

            = k²(x² + y²)/k²(2xy)

            = k⁰ f(x,y)

therefore f(x, y) is homogenous function and degree is 0

Точные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение Mdx + Ndy = 0 называется точным дифференциальным уравнением, если ∂M/∂y = ∂N/∂x

Рабочее правило для решения точных дифференциальных уравнений

Step 1: Given differential equation can be written as Mdx + Ndy = 0 form considering as equation 1

Step 2: Check ∂M/∂y =  ∂N/∂x

Step 3: The general solution of equation 1 is

∫Mdx +∫Ndy =C      

(y= constant) and (do not contain x)

Решение точных уравнений с помощью интегрирующего коэффициента

Если Mdx + Ndy = 0 — однородное дифференциальное уравнение, а Mdx + Ndy не равно 0, то 1/(Mx + Ny) — интегрирующий множитель Mdx + Ndy = 0.

Пример: решить точное дифференциальное уравнение x ² ydx −( x ³ + y ³ ) dy =0

Решение:

Comparing with Mdx + Ndy = 0

M = x²y, and N = -(x³+y³)

∂M/∂y = x²       and ∂N/∂x = -3x²

So here ∂M/∂y is not equal to ∂N/∂x

Here the given equation is not exact differential equation

Considering Integrating factor

Integrating Factor =1/Mx+Ny

=1/(x²y)x+(−x³−y³)y

=  1/(x³y-x³y-y⁴)=-1/y⁴

=−1/y⁴ is an integrating factor

Multiplying the equation with Integrating factor

=(−x²y/y⁴)dx+(x³+y³/y⁴)dy=0

=(−x²/y³)dx+(x³/y⁴+1/y)dy=0

Comparing with  M₁dx + N₁dy= 0

M₁= -x²/y²    and N₁ = x³/y⁴+1/y

Therefore ∂M₁/∂y =  ∂N₁/∂x

Finding ∫M₁dx +∫N₁dy =C      

∫(−x²/y³)dx+(x³/y⁴+1/y)dy=C

−x³/3y³+logy=C

It is the solution for given equation.

Примеры проблем

Задача 1: решить (hx + by + f)dy + (ax + hy + g)dx = 0

Решение:

Given equation is (hx+by+f)dy+(ax+hy+g)dx=0….(1)

Step 1: Comparing with Mdx + Ndy = 0

M= ax+hy+g and N = hx+by+f

Step 2: Check ∂M/∂y =  ∂N/∂x

 ∂M/∂y = h

 ∂N/∂x = h

Therefore  ∂M/∂y =  ∂N/∂x

Step 3: The general solution of equation 1 is 

∫Mdx +∫Ndy =C

(y= constant) and (do not contain x)

=∫(ax+hy+g)dy+∫(hx+by+f)dx=C

=ax²/2+hy∫dx+g∫dx+0+by²/2+f∫dy=C

=ax²/2+hyx+gx+by²/2+fy=C  ( here ∫dx= x, ∫dy = y)

Therefore it is the solution for given differential equation.

Задача 2. Решить ( y ² −2 xy ) dx −( x ² −2 xy ) dy =0

Решение:

Given equation is (y²−2xy)dx−(x²−2xy)dy=0….(1)

Step 1: Comparing with Mdx + Ndy = 0

M= y²-2xy and N = -x²+2xy

Step 2: Check ∂M/∂y =  ∂N/∂x

∂M/∂y = 2y-2x

∂N/∂x = -2x+2y

Therefore  ∂M/∂y =  ∂N/∂x

Step 3: The general solution of equation 1 is

∫Mdx +∫Ndy =C

(y= constant) and (do not contain x)

=∫(y²−2xy)dx+∫(−x²+2xy)dy=C

=y²∫dx−2y∫xdx+0=C

=xy²−x²y=C

Therefore it is a solution for a given differential equation.

Задача 3. Решить ( y (1+1/ x )+ cosy ) dx + ( x + logx − siny ) dy =0

Решение:

Given equation is (y(1+1/x)+cosy)dx+(x+logx−siny)dy=0

Step 1: Comparing with Mdx + Ndy = 0

M= y+y/x+cosy and N = x+logx-xsiny

Step 2: Check ∂M/∂y =  ∂N/∂x

∂M/∂y = 1+1/x-siny

∂N/∂x = 1+1/x-siny

Therefore  ∂M/∂y =  ∂N/∂x

Step 3: The general solution of equation 1 is

∫Mdx +∫Ndy =C

(y= constant) and (do not contain x)

∫(y+y/x)+cosy)dx+∫(x+logx−siny)dy=C

=xy+ylogx+xcosy+0=C

=y(x+logx)+xcosy=C

Therefore it is a solution for a given differential equation.

Задача 4. Решить ( x ² −4 xy −2 y ² ) dx + ( y ² −4 xy −2 x ² ) dy =0

Решение:

Given equation is (x²−4xy−2y²)dx+(y²−4xy−2x²)dy=0

Step 1: Comparing with Mdx + Ndy = 0

M= x²-4xy-2y² and N = y²-4xy-2x²

Step 2: Check ∂M/∂y =  ∂N/∂x

∂M/∂y = -4x-4y

∂N/∂x = -4x-4y

Therefore  ∂M/∂y =  ∂N/∂x

Step 3: The general solution of equation 1 is

Mdx +∫Ndy =C

(y= constant) and (do not contain x)

=∫(x²−4xy−2y²)dx+∫(y²−4xy−2x²)dy=C

=x³/3−4yx²/2−2y²x+y³/3=C

=x³/3−2x²y−2xy²+y³/3=C

Therefore it is a solution for given differential equation.

Задача 5. Решить (2xy+y-tany)dx+(x ² -xtan ² y+sec ² y)dy=0

Решение:

Given equation is (2xy+y-tany)dx+(x²-xtan²y+sec²y)dy=0

Step 1: Comparing with Mdx + Ndy = 0

M= 2xy+y-tany and N = x²-xtan²y

Step 2: Check ∂M/∂y =  ∂N/∂x

∂M/∂y = 2x+1-sec²y = 2x-tan²y

∂N/∂x = 2x-tan²y

Therefore  ∂M/∂y =  ∂N/∂x

Step 3: The general solution of equation 1 is

∫Mdx +∫Ndy =C

(y= constant) and (do not contain x)

=∫(2xy+y−tany)dx+∫(x²−xtan²y+sec²y)dy=C

=2y∫xdx+y∫dx−tany∫dx+0+0+∫sec²ydy=C

=2yx²/2+xy−xtany+tany=C

=xy(1+x)+tany(1−x)=C

Therefore it is a solution for a given differential equation.