Теорема Ролля и Лагранжа о среднем значении

Теоремы о среднем значении (MVT) - одна из часто встречающихся теорем в литературе по математическому обучению. Это один из наиболее важных инструментов, используемых для доказательства многих других теорем дифференциального и интегрального исчисления. Иногда ее преподают с ее частным случаем, теоремой Ролля. Теорема Ролля названа в честь Мишеля Ролля (1652-1719), французского математика, который ввел ныне общепринятый символ для корня n-й степени и настаивал на том, что -a > -b для положительных a и b, a < b. Этот подвиг пошел вразрез с учением Декарта и заложил основу для введения вездесущей числовой линии.

Теорема Ролля

В нем говорится, что если y = f (x) и задан интервал [a, b], который удовлетворяет следующим условиям:

1. f(x) непрерывна на [a, b].
2. f(x) дифференцируема в (a, b).
3. е (а) = е (б)

Тогда существует хотя бы одно действительное число c ∈ (a, b) такое, что f'(c) = 0.

Note: It is not necessary that the converse of this theorem is also true. That is we cannot say if at some point f"(c) = 0 then all the conditions of Rolle’s theorem are satisfied. 

Доказательство теоремы Ролля

Let k = f(a) = f(b). We consider three cases:

1. f(x) = k for all x ∈ (a, b).
2. There exists an x ∈ (a, b) such that f(x) > k.
3. There exists an x ∈ (a, b) such that f(x) < k.

Case 1: If f(x) = k for all x ∈ (a, b), then f"(x) = 0 for all x ∈ (a, b).

Case 2: Since f is a continuous function over the closed, bounded interval[a, b], by the extreme value theorem, it has an absolute maximum. Also, since there is a point x ∈ (a, b) such that f(x) > k, the absolute maximum is greater than k. Therefore, the absolute maximum does not occur at either endpoint. As a result, the absolute maximum must occur at an interior point xc∈ (a, b). Because f has a maximum at an interior point c, and f is differentiable at c, by Fermat’s theorem, f"(c)=0.

Case 3: The case when there exists a point x ∈ (a, b) such that f(x) < k is analogous to case 2, with maximum replaced by minimum.

Примеры проблем

Вопрос 1: Определите все точки 'c', которые удовлетворяют теореме Ролля для f(x) = x ² – 2x – 8 на [-1, 3].

Решение:

Before finding out the points, we need to make sure that all the conditions of rolle’s theorem are applied on this interval. This function is a polynomial, so it’s both differentiable and continuous on the interval. Now let’s evaluate the function at the ends of the interval. f(-1) = -5 and f(3) = -5. Function values are equal at both the ends. So, now all the conditions for rolle’s theorem are satisfied.

f"(x) = 2x – 2.

f"(x) = 2x – 2 = 0.

      = x = 1

So, c = 1. 

Вопрос 2: Определите все точки 'c', которые удовлетворяют теореме Ролля для f(x) = 2x- x ² – x ³ на отрезке [-2, 1].

Решение:

This function is also a polynomial, so it is both differential and continuous on the interval. Values at the end of the interval f(-2) = 0 = f(1).

So, Rolle’s theorem is applicable here.

f"(x) = 2 – 2x – 3x²

For finding the points like ‘c’

f"(x) = 0

⇒ 2 – 2x – 3x² = 0

⇒ 3x² + 2x -2 = 0

Applying the Shree Dharacharya quadratic formula for finding the values of c, 

So, here there are two values which satisfy rolle’s theorem. 

Вопрос 3: Проверьте, применима ли теорема Ролля к функциям f(x) = [x] при x ∈ [5, 9].

Решение:

This function is a step function, it is not continuous. So, rolle’s theorem is not applicable in the following interval. 

f(x) = [x]

Теорема о среднем значении

Это одна из важнейших теорем математического анализа. В нем говорится, что если y = f (x) и задан интервал [a, b], который удовлетворяет следующим условиям:

• f(x) непрерывна на [a, b].
• f(x) дифференцируема в (a, b).

Тогда существует хотя бы одно число c ∈ (a, b) такое, что

Говоря геометрически, производная в точке c обозначает наклон касательной в точке x = c для f (x). В нем говорится, что должна существовать точка между этим интервалом, где наклон касательной равен наклону линии, соединяющей точки x = a и x = b.

Note: There can be any number of c-points. The mean Value Theorem is also called First Mean Value Theorem.

Доказательство:

Let “f” satisfy the hypotheses of the MVT on the interval [a, b]. Define . This represents the secant line between a and b. 

Case 1: g attains its maximum and minimum at a and b. Then “g” is constant. In this case we get  at every point in [a, b]

Case 2: If the maximum or the minimum is attained at an interior point c, then g"(c)=0. Therefore, 

Физическая интерпретация теоремы о среднем значении

Известно, что в теореме о среднем значении — среднее изменение функции по [a, b], а f'(c) — мгновенное изменение в точке «c». В нем говорится, что мгновенное изменение за интервал равно среднему изменению функции в некоторой внутренней точке.

Применение теоремы о среднем значении

Известно, что теорема о среднем значении является одной из наиболее важных теорем в анализе, и поэтому все ее приложения имеют большое значение. Некоторые из приложений перечислены ниже:

• Правило Лейбница.
• Правило больницы.
• Строго возрастающие и строго убывающие функции.
• Симметрия вторых производных.
• Функция постоянна, если f: (a, b) R дифференцируемо и f'(x)=0 для всех xin(a, b).

Примеры проблем

Вопрос 1: Определите все числа “c”, которые удовлетворяют заключению теоремы о среднем значении для h(z) = 4z ³ – 8z ² + 7z – 2 в [2,5].

Решение:

Since the function is a polynomial, so it is continuous and differentiable both in this interval. Thus mean value theorem can be applied here. 

h(2) = 12 and h(5) = 333 and h"(z) = 12z² -16z + 7

Now plug this into the formula of mean value theorem and solve for c. 

Вопрос 2: f(x) = . Найдите интервал, на котором можно применить теорему о среднем значении.

Решение:

f(x) is not defined at x = 0. So, x = 0 is not in the domain if f(x). 

Since MVT can only be defined at places where f(x) is differentiable and continuous. It can be defined (-∞, 0) and (0,∞). 

Вопрос 3: Определите все числа c, которые удовлетворяют заключению теоремы о среднем значении в интервале [-2,2] для f(x) =

Решение:

The given function, f(x) = |x – 2| + |x| is not differentiable. Thus mean value theorem cannot be applied on this function in the interval [-2, 2]. 

Graph of the given function. 

Вопрос 4: Определите все числа “c”, которые удовлетворяют заключению теоремы о среднем значении в интервале для на [-2,3].

Решение:

This function is a sum of both exponential and polynomial functions. Since both the functions are continuous and differentiable everywhere, the function f(t) is continuous and differentiable everywhere. Thus mean value theorem is applicable. 

f(-2) = -16 + e^{(-3 .-2)} = -16 + e⁶, f(3) = 24 + e^-9 and f"(t) = 8 -3e^-3t. 

Let’s plug it into the formula, 

This is the value of c.