Связь между нулями и коэффициентами многочлена

Любое алгебраическое выражение с константами и переменными известно как многочлен. Полином представляет собой комбинацию двух слов: «поли» и «номинал», где «поли» означает «много», а «номинал» означает «термы», следовательно, полином может содержать столько терминов, но никогда не может быть бесконечным. В многочлене присутствуют нули и коэффициенты там, где коэффициенты нам уже предоставлены, однако нам нужно получить значение нулей с помощью коэффициентов.

Связь между нулями и коэффициентами

Мы знаем, что нули любого многочлена — это точки, в которых график многочлена пересекает ось абсцисс. Эти нули также можно узнать, используя коэффициенты при разных членах полинома. Давайте посмотрим на связь между нулями и коэффициентами многочленов.

Линейный полином

Линейный полином, как правило, определяется как

у = топор + б

Мы знаем, что для нулей нужно найти точки, в которых y = 0. Решив это общее уравнение для y = 0.

у = топор + б

⇒ 0 = топор + б

⇒ х =

Это дает нам связь между нулем и коэффициентом линейного многочлена.

In general for a linear equation y = ax + b, a ≠ 0, the graph of ax + b is a straight line that cuts the x-axis at (, 0)

Вопрос: Проверить нули линейного многочлена как по указанной выше формуле, так и графическим методом.

у = 4х + 2

Решение:

We are given with the equation y = 4x + 2, 

Here a = 4 and b = 2

So, by the formula mentioned above the zero will occur at (, 0) that is 

Let’s verify this zero with graphical method. We need to plot the graph of this equation. 

y = 4x + 2 

Let’s bring it to the intercept form. 

Now we know the intercepts on the x and y-axis. 

Квадратичный полином

Квадратичные многочлены имеют наивысшую степень 2, и наряду с факторизацией существуют другие методы, с помощью которых можно найти нули квадратного многочлена, такие как метод Дхарачарьи . Поскольку он имеет высшую степень 2, в квадратичном многочлене существует 2 нуля.

Выведем связь между нулями и коэффициентами квадратного многочлена. Предположим, полином,

Р(х) = 2х2 – 8х ⁺ 6

Этот многочлен можно разложить на множители следующим образом:

Р(х) = 2х ² -8х + 6

= 2х2 – 6х – ^2х + 6

= 2х(х – 3) -2(х – 3)

= 2 (х - 1) (х - 3)

Значит, это уравнение имеет корни x = 1 и x = 3.

Заметь,

Sum of zeros = 1 + 3 = 4 = 

Product of zeros = 1 × 3 = 3 = 

Это отношение между нулями и коэффициентами для коэффициентов второго порядка.

Итак, в общем виде

For a polynomial, p(x) = ax² + bx + c which has m and n as roots 

m + n = 

m × n = 

Вопрос: Проверьте указанное выше свойство уравнения 6x ² - 10x + 4.

Решение:

6x² – 10x + 4 

⇒ 6x² – 6x -4x + 4

⇒ 6x(x – 1) – 4(x – 1)

⇒ (6x – 4) (x – 1) 

Thus, the roots for this equation come out to be x =  and x = 1

Now we know according to above properties, 

Sum of zeros = 

Product of zeros = 

Let’s verify it 

Sun of zeros = 1 +  = 

Both the values come to be equal. Hence, verified. 

Let’s verify the product of roots property 

Product of zeros = 

  

In this case also, both values are equal. Hence, verified. 

Кубический многочлен

Аналогичное соотношение можно вывести для кубического многочлена. Кубический многочлен - это многочлен степени 3, и, поскольку его наивысшая степень равна 3, существует три нуля кубического многочлена. Предположим, что корни/нули полученных многочленов равны p, q, r, отношение между нулями и многочленами будет задано как

For a cubic polynomial, 

ax³ + bx² + cx + d

Which has roots x = p, q and r 

p + q+ r = 

pq + qr + pr = 

pqr = 

Давайте рассмотрим несколько примеров, касающихся этих свойств.

Примеры проблем

Вопрос 1: Убедитесь, что -1,1,2 являются корнями многочлена x ³ -2x ² – x + 2. Также проверьте указанные выше свойства.

Решение:

x = -1, 1 and 2 are the roots of polynomial that is P(x) = 0 at all these points. Let’s plug in the values of x one by one in the polynomial. 

P(-1) = (-1)³ – 2(-1)² -(-1) + 2 

         = -1 – 2 + 1 + 2

         = -3 + 3

         = 0 

P(1) = (1)³ – 2(1)² – 1 + 2 

       = 1 – 2 – 1 + 2 

       = 0 

P(2) = (2)³ – 2(2)² – 2 + 2 

       = 8 – 8 – 2 + 2

       = 0

Thus, all these points are roots of the polynomial 

Let’s verify the properties 

(1) p + q+ r = 

⇒ -1 + 1+ 2 = 

⇒ 2 = 2 

L.H.S = R.H.S 

Hence Verified 

(2) pq + qr + pr = 

  ⇒ (-1)(1) + (1)(2) + (-1)(2) = 

  ⇒ -1+ 2 -2 = -1 

 ⇒ -1 = -1 

L.H.S = R.H.S

Hence Verified 

(3) pqr = 

⇒ (-1)(1)(2) = 

⇒ -2 = -2

L.H.S = R.H.S 

Hence Verified 

Вопрос 2: Оцените сумму и произведение нулей квадратного многочлена 6x ² + 18.

Решение:

General form of a quadratic polynomial is ax² + bx + c = 0. 

Given polynomial 6x² + 18 can be rewritten as, 

6x² + 0.x + 18

As studied above the sum and product of roots of quadratic polynomial is given by, 

m + n = 

m.n = 

Where m and n are the roots of the polynomial 

In our case a = 6, b = 0 and c = 18. Plugging the values in the formulas 

m + n = 

m.n = 

Thus, the sum of roots is 0 and product is given by 3. 

Вопрос 3: Дан многочлен ax ² + bx + 1. Его корни равны -1 и 3. Найдите значения a и b.

Решение:

We know the formula for sum and product of the root of a quadratic polynomial . 

Let m and n be the roots, 

Here, m = -1 and n =3 

So, by the formula 

m + n = …(1)

m.n =  …..(2)

From the equation (1) 

-1 + 3 = 

⇒ 2 = frac{-b}{a}  

⇒ 2a = -b 

From equation (2) 

(-1)(3) = 

⇒ -3a = 1

⇒ a =  

Putting this value of “a” in the above equation 

b =