Свойства треугольников

Треугольник — это простейшая форма многоугольника. Слово «Три» означает три и, следовательно, фигура с 3 углами является треугольником, и она образована с помощью пересекающихся друг с другом отрезков из трех прямых, треугольник имеет 3 вершины, 3 ребра и 3 угла. Форма треугольника очень полезна и в реальной жизни, например, в плотницком деле, астрономии, уличных вывесках и т. д.

У треугольников есть несколько свойств, которые оправдывают множество приложений и полезны для теорем.

Свойства треугольника:

• Свойство суммы углов: сумма всех трех внутренних углов всегда равна 180°. Следовательно. В треугольнике ΔABC, показанном выше, ∠A+ ∠B+ ∠C= 180°, внутренние углы треугольника будут больше 0° и меньше 180°.
• Треугольник имеет 3 стороны, 3 вершины и 3 угла.
• Свойство внешнего угла: внешний угол треугольника равен сумме внутренних противоположных и несмежных углов (также называемых удаленными внутренними углами). В показанном выше ΔABC, ∠ACD= ∠ABC+ ∠BAC
• Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Например, AB+BC>AC или BC+AC>AB.
• Сторона, лежащая против наибольшего угла, является наибольшей стороной треугольника. Например, в прямоугольном треугольнике сторона, лежащая напротив угла 90°, является наибольшей стороной.
• Периметр фигуры определяется общей длиной, которую покрывает фигура. Следовательно, периметр треугольника равен сумме длин всех трех сторон треугольника. Периметр ΔABC= (AB + BC + AC)
• Разность длин любых двух сторон всегда меньше длины третьей стороны. Например, AB-BC< AC или BC-AC< AB
• Для подобных треугольников углы двух треугольников должны быть конгруэнтны друг другу, а соответствующие стороны должны быть пропорциональны.
• Площадь треугольника: 1/2 × основание × высота

Классификация треугольников

Классификация треугольников производится на основе следующих признаков:

1. По характеристикам сторон.
2. На основе характеристик углов.

Классификация треугольников по сторонам

Равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике все три стороны равны между собой, как и все три внутренних угла равностороннего треугольника.

Поскольку все внутренние углы равны, а сумма всех внутренних углов треугольника равна 180° (одно из свойств треугольника). Мы можем вычислить отдельные углы равностороннего треугольника.

∠А+ ∠В+ ∠С = 180°

∠А = ∠В = ∠С

Следовательно, 3∠A = 180°

∠А= 180/3 = 60°

Следовательно, ∠A = ∠B = ∠C = 60°.

Свойства равностороннего треугольника:

• Все стороны равны.
• Все углы равны и равны 60°
• В равностороннем треугольнике существуют три оси симметрии
• Биссектриса угла, высота, медиана и перпендикулярная линия одинаковы, и здесь это AE.
• Ортоцентр и центр тяжести совпадают.

Равнобедренный треугольник

В равнобедренном треугольнике две стороны равны и два угла, прилежащие к сторонам, также равны. Можно сказать, что любые две стороны всегда конгруэнтны.

Свойства равнобедренного треугольника:

• Две стороны равнобедренного треугольника всегда равны
• Третья сторона называется основанием треугольника, а высота рассчитывается от основания до противоположной вершины.
• Противоположные углы двух равных сторон также равны между собой.

Неравносторонний треугольник

В разностороннем треугольнике все стороны и все углы не равны. Представьте, что вы наугад рисуете треугольник, и ни одна из его сторон не равна, все углы тоже отличаются друг от друга.

Свойства неравностороннего треугольника:

• Ни одна из сторон не равна друг другу.
• Все внутренние углы разностороннего треугольника различны.
• Линии симметрии не существует.
• Точки симметрии не видно.
• Внутренние углы могут быть острыми, тупыми или прямыми по своей природе (это классификация, основанная на углах).
• Наименьшая сторона лежит против наименьшего угла, а наибольшая сторона против наибольшего угла (общее свойство).

Классификация треугольников по углам

Острый угол Треугольник

В остроугольных треугольниках все углы больше 0° и меньше 90°. Таким образом, можно сказать, что все 3 угла по своей природе острые (углы меньше 90°).

Свойства остроугольных треугольников:

• Все внутренние углы всегда меньше 90° при разных длинах сторон.
• Линия, идущая от основания к противоположной вершине, всегда перпендикулярна.

Тупой угол Треугольник

В тупоугольном треугольнике одна из трех сторон всегда будет больше 90°, а поскольку сумма всех трех сторон равна 180°, остальные две стороны будут меньше 90° (свойство суммы углов).

Свойства тупоугольного треугольника:

• Один из трех углов всегда больше 90°.
• Сумма оставшихся двух углов всегда меньше 90° (свойство суммы углов).
• Окружность и ортоцентр тупого угла лежат вне треугольника.
• Incenter и центр тяжести лежат внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник

Когда один из углов треугольника равен ровно 90°, такой треугольник называется прямоугольным треугольником.

Свойства прямоугольного треугольника:

• Прямоугольный треугольник должен иметь один угол, точно равный 90°, он может быть разносторонним или равнобедренным, но поскольку один угол должен быть равен 90°, следовательно, он никогда не может быть равносторонним треугольником.
• Сторона, противоположная 90°, называется гипотенузой.
• Стороны, примыкающие к 90°, являются основанием и перпендикулярны.
• Теорема Пифагора: это особое свойство прямоугольных треугольников. В нем говорится, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов основания и перпендикуляра, то есть AC ² = AB ² + BC ²

Примеры задач на свойства треугольников

Вопрос 1: В треугольнике. ∠ACD = 120° и ∠ABC = 60°. Найдите тип треугольника.

Решение:

In the above figure, we can say, ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC (Exterior angle Property)

120° = 60° + ∠BAC

∠BAC = 60°

∠A + ∠B + ∠C = 180°

∠C OR ∠ACB = 60°

Since all the three angles are 60°, the triangle is an Equilateral Triangle.

Вопрос 2: Треугольник на приведенном ниже рисунке имеет указанные длины сторон. Найдите площадь и периметр треугольника.

Решение:

In the figure shown, we know the length of all the sides and therefore,

The perimeter of the triangle = (5 + 5 + 6) = 16cms

In order to find the area of the triangle, we need to find out the height of the triangle.

Applying Pythagoras to find out the height of the triangle,

H² = (5²– 3²) = 16

H = 4cms

Therefore, the area of Triangle ABC = 1/2×4×5 = 10cm²

Вопрос 3: Объясните, почему прямоугольный треугольник никогда не может быть равносторонним по своей природе?

Отвечать:

A Right angled Triangle has one of its angles equal to 90°, and the rest of the angles are less than 90° [since the sum of all angles of a triangle is 180]. While in an equilateral triangle, all the interior angles are equal and are equal to 60° which is not possible for a right-angled triangle. 

Even if an angle is considered to be 60°, since one angle is already 90°, the third will become 30°.

Therefore, it is not possible for an equilateral triangle to be a right-angled triangle.

Вопрос 4: В прямоугольном треугольнике ∠ACB = 60°, а длина основания равна 4 см. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Using Trigonometric formula of Tan60°,

Tan60° = AB/BC = AB/4

AB = 4√3cm

Area of Triangle ABC = 1/2 = 1/2×4×4√3 = 8√3cm²

Вопрос 5: В ΔABC, если ∠A+ ∠B = 55°. ∠B + ∠C = 150°. Найдите угол B отдельно?

Решение:

The angle sum Property of a Triangle says ∠A+ ∠B+ ∠C= 180°

Given: ∠A+ ∠B= 55°

∠B+ ∠C= 150°

Adding the above 2 equations,

∠A+ ∠B+ ∠B+ ∠C= 205°

180°+ ∠B= 205°

∠B = 25°