Сумма площадей альтернативной концентрической окружности радиусом 1,2,3,4……….N

Учитывая, что нарисованы концентрические окружности радиусами 1,2,3,4……….Н см. Внутренняя часть наименьшего круга окрашена в белый цвет, а угловые области окрашены попеременно в зеленый и белый цвета, так что никакие две соседние области не могут быть одного цвета. Задача состоит в том, чтобы найти общую площадь зеленой области в квадратных см.

Примеры:

Input: N=100
Output: 15865.042900628456

Input: N=10
Output: 172.78759594743863

Подход: площадь первой зеленой области будет-

[π(R2²- R1²)]

Точно так же площадь всех альтернативных зеленых кругов будет:

[π(R4²- R3²)], [π(R6²- R5²)]…..

Общая площадь зеленой области равна сумме площадей зеленой области:

A  =  [ π { (R2² – R1²) + (R4² – R3²) + (R6² – R5²) …………. (R(N)² –  R(N-1)²}]

A =   [ π { ((R2 – R1)(R2 + R1)) + ((R4 – R3)(R4 + R3)) + ((R6 – R5)(R6 + R5)) …………. ((RN –  R(N – 1)(RN + R(N – 1)) } ]

Поскольку разница между радиусами двух концентрических окружностей составляет всего 1 см, поэтому R (N) - R (N - 1) = 1. Следовательно,

A  =   [ π {R1 + R2 + R3 + R4 + R5 + R6 ………….R(N-1) + R(N) } ]

(R1 + R2 + R3 + R4 + R5 + R6 ………….R(N-1) + R(N) образует арифметическую прогрессию, поэтому нам нужно найти сумму арифметической прогрессии с начальным радиусом 1 и последним радиусом как N с общей разностью 1.

Сумма AP равна-

S_N = N * (2 * a +(N – 1) * d) / 2  

or 

S_N = N * (a + l) / 2

Таким образом, площадь зеленой области равна-

A = Sn * π 

Ниже приведена реализация вышеуказанного подхода:

Временная сложность: O(1)
Вспомогательное пространство: O(1)