Средний свободный пробег – определение, формула, вывод, примеры

Кинетическая теория была введена для объяснения строения и состава молекул по отношению к субмикроскопическим частицам. Теория говорит об увеличении давления из-за постоянного движения и столкновения субмикроскопических частиц. В нем также обсуждаются другие свойства газа, такие как температура, давление, объем, вязкость, диффузия, теплопроводность и т. Д. Теория развивает связь между микроскопическими частицами и макроскопическими свойствами. Молекула газа всегда находится в постоянном движении и постоянно сталкивается друг с другом и со стенками сосуда, в таком случае сложно и важно изучить динамику газов.

Молекулярная природа вещества

Как известно, существует три формы материи: твердое тело, жидкость и газ. Молекулы твердого тела плотно упакованы и имеют минимальное межмолекулярное пространство между собой. В жидкостях молекулы относительно менее плотно упакованы и, следовательно, между ними относительно больше межмолекулярного пространства. С другой стороны, газы имеют очень рыхлую упаковку молекул, и межмолекулярное расстояние между ними самое большое по сравнению с другими состояниями.

Свободный путь

Let’s understand what is a free path. By definition, a free path is a distance between two consecutive collisions. As known through the behavior of gases, the molecules of a gas are always in constant motion. 

Они сталкиваются друг с другом, а также со стенками контейнера. Предположим, что молекула 1 сначала столкнулась с молекулой 2, затем с молекулой 3 и так далее. Когда молекула 1 сталкивается с молекулой 2, это известно как первое столкновение. Когда он столкнулся с молекулой 3, это известно как 2-е столкновение и так далее.

Расстояние между первым и вторым столкновением известно как свободный пробег, обозначаемый как λ ₁ , расстояние между вторым и третьим столкновением известно как λ ₂ и так далее. Поскольку между любыми двумя последовательными столкновениями не происходит столкновения, путь известен как свободный путь (λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ и т. д.).

Длина свободного пробега

The mean free path is the average path covered by the molecules between collisions. It is known that there are different free paths with different path lengths. Given below are the free paths, 

λ₁ = First free path

λ₂ = Second free path

λ₃ = Third free path

λ_n = nth free path

The average of these path lengths is known as the mean free path. Therefore, the mean free path can (denoted by λ) be calculated as,

λ = (λ₁ + λ₂ + λ₃ + … λ_n)/n

Формулы для среднего свободного пробега

Возьмем в качестве примера одну молекулу диаметром d. Представив себе, что она движется сквозь другие молекулы, учитывая, что другие молекулы неподвижны и не сталкиваются, молекула проходит определенное расстояние в цилиндрической форме. Площадь поперечного сечения равна πd2. Объем цилиндра равен πd2 × vt, где v — скорость молекулы, t — время. Будем считать, что число молекул в единице объема равно N/V. Средний свободный пробег можно записать как

λ = длина пути/количество столкновений

Так как характеристики других молекул не учитываются и скорости в числителе и знаменателе разные. Скорость в числителе средняя, а скорость в знаменателе относительная. Поэтому к знаменателю добавляется множитель √2.

Время между двумя последовательными столкновениями,

Среднее расстояние между двумя последовательными столкновениями,

Примеры проблем

Задача 1: Найти длину свободного пробега молекулы кислорода, движущейся в воздухе при температуре 200 К и давлении 1 атм. Диаметр молекулы кислорода 1,5×10 ^-6 м.

Решение:

As the formula for the mean free path is already known, that is,

λ = 

N/V is the number density that can be equated to P/KT by ideal gas law,

Therefore,

λ = 

λ = 

λ = 

Задача 2: Найти длину свободного пробега молекулы кислорода, движущейся в воздухе при температуре 100 К и давлении 1 атм. Диаметр молекулы кислорода 2×10 ^-6 м.

Решение:

As the formula for the mean free path is already known, that is,

λ = 

N/V is the number density that can be equated to P/KT by ideal gas law,

Therefore,

λ = 

λ = 

λ = 0.076 × 10^-14

λ = 7.6 × 10^-16m

Задача 3. Найти длину свободного пробега молекулы кислорода, движущейся в воздухе при температуре 150 К и давлении 1 атм. Диаметр молекулы кислорода 1×10 ^-6 м.

Решение:

As the formula for the mean free path is already known, that is,

λ = 

N/V is the number density that can be equated to P/KT by ideal gas law,

Therefore,

λ = 

λ = 

λ = 2.17 × 10^-14

λ = 2.17 × 10^-14m

Задача 4. Если длина свободного пробега молекулы равна 1,5 × ^10–10 м. Выясните, при какой температуре в паскалях движется молекула с давлением 2 атм, если диаметр молекулы равен 1,2 × ^10–6 м.

Решение:

As the formula for the mean free path is already known, that is,

λ = 

N/V is the number density that can be equated to P/KT by ideal gas law,

Therefore,

λ = 

1.5 × 10^-10 = 

(1.5 × 10^-10)(938.606 × 10¹⁴) = 1/T

1407.909 × 10⁴ = 1/T

T = 7.10 K

Задача 5. Если длина свободного пробега молекулы равна 1 × 10 ^-6 м. Выясните, при какой температуре в паскалях молекула движется с давлением 1 атм, если диаметр молекулы равен 2 × ^10–9 м.

Решение:

As the formula for the mean free path is already known, that is,

λ = 

N/V is the number density that can be equated to P/KT by ideal gas law,

Therefore,

λ = 

1 × 10^-6 = 

(1 × 10^-6)(1303.67 × 10⁸) = 1/T

1303.67 × 10² = 1/T

T = 7.6 × 10^-6