Сложение и вычитание комплексных чисел

Комплексное число состоит из действительного числа и мнимого числа. Обычно его представляют в виде z = a + ib, где a — действительная часть, а b — мнимая часть. Здесь i представляет собой воображаемое число единиц, значение которого равно √-1 . Таким образом, я = √-1.

Шаги при добавлении или вычитании комплексных чисел

• Сложение или вычитание комплексных чисел — это просто объединение действительных и мнимых частей комплексных чисел и применение операций отдельно к каждой из комбинаций.
• Все действительные числа являются комплексными числами с мнимой частью, равной нулю, но все комплексные числа не являются действительными числами.
• Если комплексные числа имеют полярную форму, мы сначала преобразуем их в декартову форму и применяем операции.

Добавление комплексных чисел

Рассмотрим два комплексных числа z ₁ = a + ib и z ₂ = c + id . Для сложения комплексных чисел мы просто объединяем действительную и мнимую части двух комплексных чисел, а затем применяем операцию сложения. Формула сложения комплексных чисел:

z₁ + z₂ = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d)

If z = z₁ + z₂, then  

z = (a + c) + i (b + d)

Вычитание комплексных чисел

Два комплексных числа z ₁ = a + ib и z ₂ = c + id можно вычесть, соединив действительные и мнимые части обоих комплексных чисел и применив операцию вычитания отдельно к каждому из них. Формула вычитания комплексных чисел:

z₁ – z₂ = (a + ib) – (c + id) = (a – c) + i (b – d)

If z = z₁ – z₂, then

z = (a – c) + i (b – d)

Свойства сложения или вычитания комплексных чисел

• Свойство замыкания: комплексное число, образованное после сложения или вычитания комплексных чисел, также является комплексным числом.
• Ассоциативное свойство: это свойство справедливо только для сложения комплексных чисел. То есть для любых трех комплексных чисел z ₁ , z ₂ и z ₃ мы имеем

(z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)

• Коммутативное свойство: это свойство справедливо для сложения двух комплексных чисел. Для любых двух комплексных чисел z ₁ и z ₂ имеем

z₁ + z₂ = z₂ + z₁ 

• Аддитивное свойство: здесь 0 — аддитивная идентичность комплексных чисел, поскольку

z + 0 = 0 + z

• Аддитивная обратная: для комплексного числа z аддитивной обратной является -z, поскольку z + (-z) = 0

Примеры проблем

Вопрос 1. Найдите сумму двух комплексных чисел z = 3 + 5i и w = 6 – 2i.

Решение:

Since the given complex numbers have real and imaginary parts, we can combine them to find the net sum of both the complex numbers.

z + w = (3 + 5i) + (6 – 2i) = (3 + 6) + i (5 – 2)

z + w = 9 + 3i

Thus, the sum of the complex numbers is equal to 9 + 3i.

Вопрос 2. Вычтите комплексные числа z = 2 – 3i и w = -4 + 2i.

Решение:

Since, we can combine the real and imaginary terms of the complex numbers and apply our operations, we can write

z – w = (2 – 3i) – (-4 + 2i) = (2 -(-4)) + i (-3 -2) 

z – w = 6 – 5i

Thus, the result is 6 – 5i.

Вопрос 3. Даны комплексные числа z ₁ = 3 + 2i, z ₂ = 5 – 3i и z ₃ = 1 + 2i, найти значение z ₁ + z ₂ – z ₃ .

Решение:

Given the three complex numbers z₁ = 3 + 2i, z₂ = 5 – 3i and z₃ = 1 + 2i, we can apply associative property of complex numbers to find the result.

Thus, we can write,

z₁ + z₂ – z₃ = (z₁ + z₂) – z₃ = ((3 + 2i) + (5 – 3i)) – (1 + 2i)

z₁ + z₂ – z₃ = (8 – i) – (1 + 2i) = (8 – 1) + i(-1 – 2)

z₁ + z₂ – z₃ = 7 – 3i

So, the answer is 7 – 3i.

Вопрос 4. Даны два комплексных числа z и v, где z = 6 + 9i. Если сумма двух комплексных чисел вдвое превышает значение, полученное при вычитании v из z, найдите значение v.

Решение:

Given, the complex number z = 5 + 2i.

According to the question,

z + v = 2 (z – v)

z + v = 2z – 2v

3v = z

v = z/3

Putting the value of z = 6 + 9i, we get

v = (6 + 9i)/3 = 6/3 + i (9/3) = 2 + 3i

v = 2 + 3i