Сколько различных комбинаций пятаков, десятицентовиков и четвертаков может содержать копилка, если в ней 20 монет?

При заданном числе элементов их различное расположение либо путем выбора одного за другим, либо некоторых из них, либо всех сразу, называются перестановками. Они рассматриваются как процесс присвоения линейной последовательности членам данной последовательности. Его также называют процессом переупорядочивания элементов данной последовательности или серии. Другими словами, перестановка последовательности означает перечисление всех возможных расположений этой последовательности. Например, ряд {1, 2} можно записать двумя способами: либо как {1, 2}, либо как {2, 1}.

Формула перестановки

Количество перестановок, когда r элементов расположены из n элементов в заданной последовательности

ⁿP_r = n! / (n – r)!

Например, пусть n = 5 и r = 2. Количество перестановок равно ⁵ P ₂ = 5! / (5 – 2)! = 20.

Комбинации

Он определяется как процесс выбора одного, двух или нескольких элементов из заданной последовательности, независимо от порядка элементов. Скажем, нужно выбрать два элемента ряда, в котором для начала всего 2 элемента, тогда порядок этих элементов не будет иметь значения.

Комбинированная формула

Количество комбинаций при выборе r элементов из n элементов в заданной последовательности

ⁿC_r = n! / r! (n – r)!

Например, пусть n = 5 и r = 2, тогда количество способов выбрать 2 элемента из 5 = ⁵ C ₂ = 5! / 2! (5 – 2)! = 10.

Стоит отметить, что в случае, если r число комбинаций должно быть получено из набора с n элементами, где разрешено повторение таких элементов, тогда,

^n+r−1C_r = ^n+r−1C_n−1.

Найдите количество комбинаций пятаков, десятицентовиков и четвертаков в копилке, если в ней 20 монет.

Решение:

Clearly order of the coins does not matter in this question. Also there is no mention as to whether repetition is allowed or not. 

Following the rule, there are in case of r number of combinations from a sequence having n number of elements where elements can be repeated ^n+r−1C_r = ^n+r−1C_n−1, we have:

Number of combinations = ^20+3-1C₂₀ = ²²C₂₀ 

= 22! / (22 – 20)! 20! 

= 11 × 21

= 231

Похожие проблемы

Вопрос 1. Назовите количество способов направления 7 студентов в поездку в колледж, учитывая, что у нас есть 1 трехместный и 2 двухместных номера.

Решение:

This problem can be interpreted as having to put the 7 students into groups of 3, 2 and 2.

Number of ways to choose 3 students in the triple = ⁷C₃ = 7! / 3!4! = 35  

Number of ways to choose 2 out of the remaining 4 students = ⁴C₂ = 4!/ 2!2! = 6

Number of ways to choose 2 students out of the remaining two students = 1

Total number of arrangements = 35 × 6 × 1 = 210.

Hence, 7 students can be assigned to 1 triple and 2 double hotel rooms during a conference in 210 ways.

Вопрос 2. Найдите сколькими способами можно составить комиссию из пяти человек, если их нужно выбрать из группы из 7 мужчин и 6 женщин так, чтобы в ней было не менее 3 мужчин.

Решение:

At least three men on the committee means we can have either exactly three, four or all five men in the committee.

Number of arrangements when there are 3 men and 2 women on the committee = (⁷C₃ x ⁶C₂) = 525

Number of arrangements when there are 4 men and 1 woman on the committee=  (⁷C₄ x ⁶C₁) = 210

Number of arrangements when there are all 5 men on the committee = (⁷C₅) = 21

Total arrangements = 525 + 210 + 21

= 756

Вопрос 3. Найдите количество расстановок букв в слове «ВЕДУЩАЯ», при которых гласные всегда стоят вместе?

Решение:

If the vowels are to appear together, they would form a separate letter in the word. Hence we are left with 4 + 1 = 5 letters, which can be arranged in 5! = 120 ways.

Furthermore, there are 3! = 6 ways to arrange the vowels together.

Total number of ways of arranging the letters = 120 x 6 = 720.

Вопрос 4. Найдите количество слов с 4 согласными и 3 гласными, которые можно составить из 8 согласных и 5 гласных.

Решение:

Number of ways of selecting 4 consonants out of 8 and 3 vowels out of 5 = ⁸C₄ x ⁵C₃

= 

= 70 × 10 = 700

Number of ways of arranging the 7 letters among themselves = 7! = 5040

Number of words that can be formed = 5040 × 700 = 3528000.

Вопрос 5. Сколько четырехбуквенных слов можно составить из слова 'GEEKSFORGEEKS', если не допускать повторения?

Решение:

Since there are 7 different letters in the word ‘GEEKSFORGEEKS’

Required number of words = ⁷P₄

= 7! / 3!

= 840