Сколькими способами можно выбрать 3 неотрицательных целых числа так, что a + b + c = 10?
Перестановка известна как процесс организации группы, тела или чисел по порядку, выбор тела или чисел из набора известен как комбинации таким образом, что порядок числа не имеет значения.
В математике перестановка также известна как процесс организации группы, в котором все члены группы располагаются в некоторой последовательности или порядке. Процесс перестановки известен как перестановка компонентов, если группа уже организована. Перестановки происходят почти во всех областях математики. В основном они появляются, когда рассматриваются разные команды на определенных ограниченных наборах.
Формула перестановки
При перестановке r вещей выбираются из группы n вещей без замены. В этом порядок выбора материи.
nPr = (n!)/(n – r)!
Here,
n = group size, the total number of things in the group
r = subset size, the number of things to be selected from the group
Комбинация
Комбинация — это функция выбора числа из набора, так что (в отличие от перестановки) порядок выбора не имеет значения. В меньших случаях возможен подсчет количества комбинаций. Комбинация известна как слияние n вещей, взятых по k за раз, без повторения. В сочетании порядок не имеет значения, вы можете выбирать элементы в любом порядке. К тем сочетаниям, в которых допускается повторение, часто применяют термины k-отбор или k-сочетание с репликацией.
Комбинированная формула
В комбинации r вещей выбираются из набора n вещей, причем порядок выбора не имеет значения.
nCr = n!⁄((n-r)! r!
Here,
n = Number of items in set
r = Number of things picked from the group
Сколькими способами можно выбрать 3 неотрицательных целых числа так, что a + b + c = 10?
Решение:
x1 + x2 + x3 + x4 + ………. + xr = n
then, no. of ways with non-negative integer value = n+r-1Cr-1
a + b+ c = 10
n = 10, r = 3
No. of ways with non-negative integer value = 10+3-1C3-1
= 12C2 = 12!/2!10!
= 66 ways
Похожие вопросы
Вопрос 1: Если a + b + c + d = 20, сколько уникальных неотрицательных целочисленных решений существует для (a, b, c, d)?
Решение:
x1 + x2 + x3 + x4 + ………. + xr = n
then, no. of ways with non-negative integer value= n+r-1Cr-1
a + b+ c + d = 20
n = 20, r = 4
No. of ways with non-negative integer value = 20+4-1C4-1
= 23C3 = 23!!/3!20!
= 1771 ways
Вопрос 2: Если a + b + c + d = 20, сколько положительных целых решений существует для (a, b, c, d)?
Отвечать:
We assign at least a value of 1 to a, b, c, d.
So, we can say a = a + 1, b = b+ 1, c = c + 1, d = d + 1 where a, b c, d are positive integers
= a+ 1 + b+ 1 + c + 1 + d + 1 = 20
= a + b + c + d = 20 – 4
= a + b + c + d = 16
Number of solutions = (16+(4-1)) C(4-1)
= 19C3 = 19!/3!16!
= 969
Вопрос 3: Если a + b + c + d = 15, сколько существует уникальных неотрицательных целочисленных решений для (a, b, c, d), таких что a > 5 и b > 2.
Решение:
We allocate at least a value of 5 to a and 2 to b
So, a = a + 5 and b = b + 2
= a + 5 + b + 2 + c + d = 15
= a+ b + c + d = 8
Number of solutions = (8+4-1)C(4-1)
= 11C3 = 11!/3!8!
= 165
Вопрос 4: Если a + b + c + d = 20, сколько существует уникальных неотрицательных целочисленных решений для (a, b, c, d), таких что a > b.
Решение:
Let us first understand the state where a = b
If a = b = 0, c + d = 20. This has 21 possibilities
If a = b = 1, c + d = 18. This has 19 possibilities
If a = b = 2, c + d = 16. This has 17 possibilities
.
.
If a = b = 10, c + d = 0. This has 1 possibility
So, the total number of a possibilities when a = b is 21 + 19 + 17 … + 1 = 11/2*(21 + 1) = 121
We know that the numeral of chances when a, b, c, and d are non-negative number is 1771. Out of these 1771 occurrence, in 121 occurrence a = b.
So, in 1771 – 121 = 1650 occurrence a is not equal to b.
In half of the above occurrence a will be greater than b whereas in the other half of the occurrence a will be less than b.
So, number of solutions where a > b is 1650/2 = 825