Система счисления: цикличность чисел
Система счисления — это метод представления чисел на числовой прямой с помощью набора символов и правил. Эти символы находятся в диапазоне от 0 до 9 и называются цифрами. Система счисления используется для выполнения математических вычислений, начиная от больших научных расчетов и заканчивая такими расчетами, как подсчет количества игрушек для ребенка или количества шоколадных конфет, оставшихся в коробке. Системы счисления включают несколько типов в зависимости от базового значения их цифр.
Цикличность чисел : цикличность любого числа в основном сосредоточена на его единичной цифре. Каждая единичная цифра имеет свой собственный повторяющийся шаблон при возведении в любую степень. Эта концепция чрезвычайно полезна при решении проблем со способностями. Понятие цикличности чисел можно изучить, вычислив единичные разряды всех однозначных чисел от 0 до 9 при возведении в определенные степени. Эти числа можно условно разделить на три категории, перечисленные ниже:
1. Цифры 0, 1, 5 и 6: Здесь, когда каждая из этих цифр возводится в любую степень, единицей окончательного ответа является само число.
Примеры:
1. 5 ^ 2 = 25: Unit digit is 5, the number itself. 2. 1 ^ 6 = 1: Unit digit is 1, the number itself. 3. 0 ^ 4 = 0: Unit digit is 0, the number itself. 4. 6 ^ 3 = 216: Unit digit is 6, the number itself.
Ниже приведены некоторые вопросы, основанные на вышеуказанной концепции:
Вопрос 1: Найдите цифру 416 345 единиц.
Ответ: Просто найдите 6 345 , что даст 6 в качестве единицы измерения, следовательно, единица измерения числа 416 345 равна 6.
Вопрос 2: Найдите цифру числа 235 34566 .
Ответ: Найдите 5 34566 , что даст 5 в качестве единичной цифры, следовательно, единичная цифра 235 34566 равна 5.
2. Цифры 4 и 9: Обе эти две цифры, 4 и 9, имеют цикличность двух разных цифр в качестве их единичной цифры.
Примеры:
1. 4 ^ 2 = 16: Unit digit is 6. 2. 4 ^ 3 = 64: Unit digit is 4. 3. 4 ^ 4 = 256: Unit digit is 6. 4. 4 ^ 5 = 1024: Unit digit is 4. 5. 9 ^ 2 = 81: Unit digit is 1. 6. 9 ^ 3 = 729: Unit digit is 9.
Можно заметить, что единичные цифры 6 и 4 повторяются в четно-нечетном порядке. Итак, 4 имеет цикличность 2. Аналогично и в случае с 9.
Его можно обобщить следующим образом:
- 4 нечетное = 4: если 4 возвести в степень нечетного числа, то единичная цифра будет 4.
- 4 четных = 6: если 4 возвести в степень четного числа, то цифра единиц будет равна 6.
- 9 нечетное = 9: если 9 возвести в степень нечетного числа, то единичная цифра будет 9.
- 9 четных = 1: если 9 возвести в степень четного числа, то цифра единиц будет равна 1.
Ниже приведены некоторые вопросы, основанные на вышеуказанной концепции:
Вопрос 1: Найдите цифру числа 414 23 .
Ответ: 23 — нечетное число, поэтому 4 нечетное = 4, следовательно, единица равна 4.
Вопрос 2: Найдите цифру числа 29 82 .
Ответ: 82 — четное число, поэтому 9 четно = 1, следовательно, единица равна 1.
3. Цифры 2, 3, 7 и 8: Эти числа имеют цикличность четырех разных чисел.
Примеры:
1. 2 ^ 1 = 2: Unit digit is 2. 2. 2 ^ 2 = 4: Unit digit is 4. 3. 2 ^ 3 = 8: Unit digit is 8. 4. 2 ^ 4 = 16: Unit digit is 6. 5. 2 ^ 5 = 32: Unit digit is 2. 6. 2 ^ 6 = 64: Unit digit is 4.
Можно заметить, что единичные цифры 2, 4, 8, 6 повторяются после периода из четырех цифр. Сходным образом,
- Цикличность числа 3 имеет 4 различных числа: 3, 9, 7, 1.
- Цикличность 7 имеет 4 разных числа: 7, 9, 3, 1.
- Цикличность числа 8 имеет 4 различных числа: 8, 4, 2, 4.
Ниже приведены некоторые вопросы, основанные на вышеуказанной концепции:
Вопрос 1: Найдите цифру числа 257 345 .
Ответ: 345 % 4 = 1, поэтому 7 1 , следовательно, единичная цифра 7.
Вопрос 2: Найдите цифру числа 423 43 .
Ответ: 43 % 4 = 3, поэтому 3 3 , следовательно, 7 — это цифра единиц.
Вопрос 3: Найдите цифру числа 28 146 .
Ответ: 146 % 4 = 2, поэтому 8 2 , следовательно, единичная цифра равна 4.
Таблица цикличности . Рассмотренные выше концепции можно обобщить следующим образом:
Число | Цикличность | Цикл питания |
---|---|---|
1 | 1 | 1 |
2 | 4 | 2, 4, 8, 6 |
3 | 4 | 3, 9, 7, 1 |
4 | 2 | 4, 6 |
5 | 1 | 5 |
6 | 1 | 6 |
7 | 4 | 7, 9, 3, 1 |
8 | 4 | 8, 4, 2, 6 |
9 | 2 | 9, 1 |
10 | 1 | 0 |