Решения RD Sharma класса 10 — Глава 6 Тригонометрические тождества — Упражнение 6.1 | Набор 2
Докажите следующие тригонометрические тождества:
Вопрос 29. 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
= 1 + cos θ
=
=
=
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 30. 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
=
=
=
= 1 + tanθ + cotθ
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 31. сек 6 θ = тангенс 6 θ + 3 тангенс 2 θ сек 2 θ + 1
Решение:
We know,
sec2 θ − tan2 θ = 1
On cubing both sides, we get,
=> (sec2θ − tan2θ)3 = 1
=> sec6 θ − tan6 θ − 3sec2 θ tan2 θ(sec2 θ − tan2 θ) = 1
=> sec6 θ − tan6 θ − 3sec2 θ tan2 θ = 1
=> sec6 θ = tan6 θ + 3sec2 θ tan2 θ + 1
Hence proved.
Вопрос 32. cosec 6 θ = cot 6 θ + 3cot 2 θ cosec 2 θ + 1
Решение:
We know,
cosec2 θ − cot2 θ = 1
On cubing both sides,
=> (cosec2 θ − cot2 θ)3 = 1
=> cosec6 θ − cot6 θ − 3cosec2 θ cot2 θ (cosec2 θ − cot2 θ) = 1
=> cosec6 θ − cot6 θ − 3cosec2 θ cot2 θ = 1
=> cosec6 θ = cot6 θ + 3 cosec2 θ cot2 θ + 1
Hence proved.
Вопрос 33. 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
= sin θ/cos θ
= tan θ
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 34. 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
=
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 35. 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
=
=
=
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 36. 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
=
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 37. (и) 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
=
= sec A + tan A
= R.H.S.
Hence proved.
(ii) 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
= 2 cosec A
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 38. (и) 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
=
= 2 cosec θ
= R.H.S.
Hence proved.
(ii) 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
= 2 sec θ
= R.H.S.
Hence proved.
(iii) 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
= 2 cosec θ
= R.H.S.
Hence proved.
(4) 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
=
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 39. (сек А – загар А) 2 = 
Решение:
We have,
L.H.S. = (sec A – tan A)2
=
=
=
=
=
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 40. 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
= (cosec A – cot A)2
= (cot A – cosec A)2
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 41. 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
=
=
= 2 cosec A cot A
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 42. 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
=
=
= sin A + cos A
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 43. 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
=
= 2 sec2 A
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 44. 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
= 1
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 45. 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
=
=
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 46. 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
=
= cos θ/sin θ
= cot θ
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 47. (и) 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
=
=
=
= sec θ + tan θ
= 1/cos θ + sin θ/cos θ
=
= R.H.S.
Hence proved.
(ii) 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
=
=
=
=
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 48. 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
=
=
=
=
=
= cosec θ + cot θ
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 49. (sin θ + cos θ) (tan θ + cot θ) = sec θ + cosec θ
Решение:
We have,
L.H.S. = (sin θ + cos θ) (tan θ + cot θ)
= sin2 θ/cosθ + cos θ + sin θ + cos2 θ/sin θ
= sin θ (1 + tan θ) + (cos θ/tan θ) (1 + tan θ)
= (1 + tan θ) (sin θ + cos θ/tan θ)
=
=
= sec θ + cosec θ
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 50. 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
=
=
=
= 2/sin A
= 2 cosec A
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 51. 1+ 
= cosec θ
Решение:
We have,
L.H.S. = 1 +
= 1 +
= 1+
= 1 + cosec θ − 1
= cosec θ
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 52. 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
=
=
= 2 sin θ/cos θ
= 2 tan θ
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 53. (1 + тангенс 2 А) + (1 + 1/тангенс 2 А) = 1/(sin 2 А - sin 4 А)
Решение:
We have,
L.H.S. = (1 + tan2 A) + (1 + 1/tan2 A)
= (1 + sin2 A/cos2 A) + (1 + cos2 A/sin2 A)
= 1/cos2 A + 1/sin2 A
=
=
= 1/(sin2 A − sin4 A)
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 54. sin 2 A cos 2 B − cos 2 A sin 2 B = sin 2 A − sin 2 B
Решение:
We have,
L.H.S. = sin2 A cos2 B − cos2 A sin2 B
= sin2 A (1 − sin2 B) − sin2 B (1 − sin2 A)
= sin2 A− sin2 A sin2 B − sin2 B + sin2 A sin2 B
= sin2A − sin2 B
= R.H.S.
Hence Proved.
Вопрос 55. (и) 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
= cot A tan B
= R.H.S.
Hence proved.
(ii) 
Решение:
We have,
L.H.S. =
=
=
=
= tan A tan B
= R.H.S.
Hence proved.
Вопрос 56. кроватка 2 A cosec 2 B − кроватка 2 B cosec 2 A = кроватка 2 A − кроватка 2 B
Решение:
We have,
L.H.S. = cot2 A cosec2 B − cot2 B cosec2 A
= cot2 A (1 + cot2 B) − cot2 B (1 + cot2 A)
= cot2 A + cot2 A cot2 B − cot2 B − cot2 B cot2 A
= cot2 A − cot2 B
= R.H.S.
Hence proved.