Решения NCERT для класса 12. Математика. Часть I. Применение производных. Упражнение 6.1.
Вопрос 1. Найдите скорость изменения площади круга по отношению к его радиусу r при а) r=3см б) r=4см
Решение:
Given,
radius of circle=r=3cm
Now, we know that area=πr2=A
Rate of change of the area of a circle with respect to r=dA/dr
dA/dr=d/dr πr2=2πr
so, when r=3
dA/dr
=2π(3)=6π
when r=4
dA/dr
=2π(4)=8π
Вопрос 2. Объем куба увеличивается со скоростью см 3 /с. С какой скоростью увеличивается площадь поверхности, если длина ребра равна 12 см?
Решение:
Given,
Rate of increase of the volume =8cm3/s
length of edge of cube=12cm=s
Now,
volume(v) of a cube with side length ‘s’
v=s3
Now,
[chain rule]
so, the rate of change of surface Area(A)
A=6s2
Вопрос 3. Радиус окружности равномерно увеличивается со скоростью 3 см/с. Найдите скорость увеличения площади круга, если его радиус равен 10 см.
Решение:
Given,
rate of increase of radius = 3cm/s=r
so,
= 3cms
To find : Ratio of increase of Area(A=πr2)
= π
=2πr.
Вопрос 4. Ребро переменного куба увеличивается со скоростью 3 см/с. С какой скоростью увеличивается объем куба, если длина ребра равна 10 см?
Решение:
Given: rate of increase of edge of cube,
=3cm/s
To find: Rate of increase of volume (v) of the cube
Now,
[chain rule]
So,
Вопрос 5. В спокойное озеро брошен камень, и волны движутся по кругу со скоростью 5 см/с. В момент, когда радиус круговой волны равен 8 см, с какой скоростью увеличивается замкнутая площадь?
Решение:
Given, Speed of water=rate of change of radius=5cm/s
To find: rate of increase of area=
=80πcm2/s
Вопрос 6. Радиус окружности увеличивается со скоростью 0,7см/с. Какова скорость увеличения его обстоятельств?
Решение:
Given: rate of increase of radius,
Circumference(P)=2πr
=2π.
Вопрос 7. Длина прямоугольника x уменьшается со скоростью 5 см/мин, а ширина y увеличивается со скоростью 4 см/мин. Найдите скорость изменения а) периметра и б) площади прямоугольника, если х=8 см и у=6 см.
Решение:
Given: Rate of change of length,
Rate of change of width,
Now, perimeter P=2(r+y)
Area A=x.y
so, a)
b)
[x is decreasing, y is increasing]
Вопрос 8. Воздушный шар, который всегда остается сферическим при надувании, надувают, накачивая 900 кубических сантиметров газа в секунду. Найдите скорость, с которой увеличивается радиус шарика, если его радиус равен 15 см.
Решение:
Given, Amount of gas pumped in per second/ Rate of change of volume
=900 cm3/s
To find: Rate of change of radius,
when r=15cm.
v=
πr3
= 4πr2
Now,
900=900π.
Вопрос 9. Воздушный шар, в котором всегда остается сферическим, имеет переменный радиус. Найдите скорость, с которой его объем увеличивается с увеличением радиуса, если последний равен 10 см.
Решение:
Let the radius be r & volume be v.
v=
To find: Rate of change of volume with respect to
i.e
Now,
π
.r3=4πr2
=400π cm2
Вопрос 10. Лестница длиной 5 м прислонена к стене. Нижнюю часть лестницы тянут по земле от стены со скоростью 2 см/с. С какой скоростью уменьшается его высота на стене, если основание лестницы находится на расстоянии 4 м от стены?
Решение:
Given: Length of ladders=5m
In ∆ ABC, AC=5m, BC=4m, & ∠ABC=90°,
so by Pythagoras theorem,
AB=
=3
Now, let AB=x & BC=y
so, x2,y2=52 or x2,y2=25 ———1
Differentiating both sides of 1 by t, we get
or
Now at BC=y=4,
so
[negative sign means AB is decreasing]
Вопрос 11. Частица движется по кривой 6y=x 3 + 2. Найдите точки на кривой, в которых координата y изменяется в 8 раз быстрее, чем координата x.
Решение:
Given: curve 6y=x3+2 ————1
and
———-2
Differentially 1 with respect to it, we get,
from 2 6.8.
16=x2
x=±4 ————-3
Now for y coordinates, put 3
6y=x3+2
when x = -4
6y = -64+2
y =
and, when x = 4
6y = 66
y = 11
Вопрос 12. Радиус пузырька воздуха увеличивается со скоростью 1/2 см/с. С какой скоростью увеличивается объем пузырька, если его радиус равен 1 см?
Решение:
Given: Rate of increase of radius
cm/s
To Find: Rate of increase of volume,
Now, v=4/3πr3
=4πr2
cm3/s
Вопрос 13. Воздушный шар, который всегда остается сферическим, имеет переменный диаметр 
(2х+1). Найдите скорость изменения его объема относительно x.
Решение:
Given: Diameter of sphere=3/2(2x+1)=d
So, radius of the sphere will be d/2=3/4(2x+1)=r
(2)
Now, volume =4/3πr3
Rate of change of volume with respect to radius
=4πr2
= 4π(
π (2x+1)2
Вопрос 14. Из трубы сыпется песок со скоростью 12 см 3 /с. Падающий песок образует на земле конус таким образом, что высота конуса всегда составляет одну шестую радиуса основания. С какой скоростью увеличивается высота конуса, если высота равна 4 см?
Решение:
Given: Rate of falling sand=12cm3/s
Now this rate is basically the rate of change of the cone.
so,
Now, radius =r
height =r
height is always one-sixth of the radius so,
h=r/6 or r=6h
To find : Rate of change of height =dh/dt=?
Now, volume v=1/3πr2h=1/3.π(6h)2.h
v=12πh3
=12π3h2.
12 =36π.(4)2.
= π
=1 / 48π cm/s
Вопрос 15. Общая стоимость C(x) в рупиях, связанная с производством x единиц товара, равна C(x)=0,003x 2 +15x+4000. Найдите предельные издержки при производстве 17 единиц продукции.
Решение:
Given: c(x)=0.007x3-0.003x2+15c+4000
Now change in total cost with respect to units is know as marginal cost i.e
Marginal cost=0.021x2-0.006x+15
Marginal cost when 17 units are produced
=0.221(17)2-0.006(17)+15
=6.069-0.102+15
=20.967
Вопрос 16. Общий доход в рупиях от масштаба x единиц продукта определяется как R(x)=13x 3 +26x+15. Найдите предельный доход, если х=7.
Решение:
Marginal revenue is the rate of change of total revenue with respect to no. of units.
So, Marginal revenue =
Marginal revenue=
Marginal revenue when (x=7)
=26 (8)
=208
Вопрос 17. Скорость изменения площади круга по отношению к его радиусу r при r = 6 см равна (A) 10π (B) 12π (C) 8π (D) 11π.
Решение:
Area, A=πr2,where r is the radius
Rate of change of area with respect to its radius r is,
=π
=2πr
Вопрос 18. Общий доход в рупиях, полученный от продажи x единиц продукта, равен R(x)=3x 2 +36x+5. Предельный доход при x=15 равен (A) 116 (B) 96 (C) 90 (D) 126.
Решение:
Marginal Revenue=
Marginal Revenue=6x + 36
Marginal Revenue at x=15 is 6 (15)+36=126
