Решения NCERT для класса 12. Математика. Часть I. Глава 3. Матрицы. Упражнение 3.2 | Набор 2
Глава 3 Матрицы – Упражнение 3.2 | Набор 1
Вопрос 11. Если 
, найдите значения x и y.
Решение:
Given:
Equating corresponding entries, we have
2x – y = 10 -(1)
3x + y = 5 -(2)
Adding eq.(1) and (2), we have 5x = 15 ⇒ x = 3
Putting x = 3 in eq.(2)
9 + y = 5 ⇒ y = -4
Therefore, x = 3 and y = -4
Вопрос 12. Дано 
, найдите значения x, y, z и w.
Решение:
Given:
Equating corresponding entries, we have
3x = x + 4 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
and 3y = 6 + x + y
⇒ 2y = 6 + 2
⇒ 2y = 8
⇒ y = 4
and 3z = -1 + z + w ⇒ 2z – w = – 1 -(1)
and 3w = 2w + 3 ⇒ w = 3
Putting w = 3 in eq(i), 2z – 3 = -1
⇒ 2z = 2 ⇒ z = 1
Therefore, x = 2, y = 4, z = 1, w = 3
Вопрос 13. Если 
, покажите, что F(x) F(y) = F(x + y).
Решение:
= F(x + y)
= F(x) F(y) = F(x + y)
Вопрос 14. Покажите, что
Решение:
(i) L.H.S =
R.H.S =
Therefore, from (1) and (2), we get
i.e. L.H.S. ≠ R.H.S
(ii) L.H.S =
Multiply both the matrices
R.H.S.=
Therefore,
L.H.S. ≠ R.H.S.
i.e.
Вопрос 15. Найдите А 2 – 5А + 6I, если 
Решение:
Вопрос 16. Если 
, докажите, что A 3 – 6A 2 + 7A + 2I = 0
Решение:
= 0 (Zero matrix)
= R.H.S.
Hence Proved
Вопрос 17. Если 
, найдите k так, чтобы A 2 = kA – 2I
Решение:
Given:
Equating corresponding entries, we have
3k – 2 = 1
3k = 3
k = 1
and 4k = 4
k = 1
and -4 = -2k – 2
2k = 2
k = 1
Therefore, k = 1
Вопрос 18. Если 
и I — единичная матрица порядка 2, покажите, что I + A = (I — A) 
Решение:
L.H.S. = R.H.S.
Hence, Proved.
Вопрос 19. Трастовый фонд имеет 30 000 фунтов стерлингов, которые необходимо инвестировать в два разных типа облигаций. По первой облигации выплачивается 5% годовых, по второй — 7% годовых. Используя матричное умножение, определите, как разделить 30 000 фунтов стерлингов между двумя типами облигаций. Если трастовый фонд должен получать ежегодную общую процентную ставку в размере:
(а) 1800 рупий
(б) 2000 рупий
Решение:
Let invested in the first bond = Rs x
Then, the sum of money invested in the second bond = ₹(30000 – x)
It is given that the first bond pays 5% interest per year, and the second bond pays 7% interest per year.
Thus, in order to obtain an annual total interest of ₹1800, we get:
⇒ 5x/100 + 7(30000 − x)/100 = 1800
⇒ 5x + 210000 -7x = 180000
⇒ 210000 -2x = 180000
⇒ 2x = 210000 – 180000
⇒ 2x = 30000
⇒ x = 15000
Therefore, in order to obtain an annual total interest of ₹1800, the trust fund should invest ₹15000 in the first bond and the remaining ₹15000 in the second bond.
Hence, the amount invested in each type of the bonds can be represented in matrix form with each column corresponding to a different type of bond as:
X =
Hence, the interest obtained after one year can be expressed in matrix representation as:
⇒ 5x/100 + 7(30000 − x)/100 = 2000
⇒ 5x + 210000 − 7x = 200000
⇒ 210000 − 2x = 200000
⇒ 2x = 210000 – 200000
⇒ 2x = 10000
⇒ x = 5000
Therefore, in order to obtain an annual total interest of ₹2000, the trust fund should invest ₹5000 in the first bond and the remaining ₹(30000 − 5000) = ₹25000 in the second bond.
Вопрос 20. В книжном магазине конкретной школы есть 10 десятков книг по химии, 8 десятков книг по физике, 10 десятков книг по экономике. Их продажные цены составляют 80 рупий, 60 рупий и 40 рупий соответственно. Найдите общую сумму, которую книжный магазин получит от продажи всех книг, используя матричную алгебру.
Решение:
Let the number of books as 1 × 3 matrix = B =
Let the selling prices of each book is a 3 × 1 matrix S =
Therefore, Total amount received by selling all books = BS =
Therefore, Total amount received by selling all the books = Rs 20,160
Предположим, что X, Y, Z, W и P — матрицы порядка 2 × n, 3 × k, 2 × p, n × 3 и p × k соответственно. Выберите правильный ответ в упражнениях 21 и 22.
Вопрос 21. Ограничение на n, k и p, при котором будут определены PY + WY, таковы:
(A) k = 3, p = n (B) k произвольно, p = 2
(C) p произвольное, k = 3 (D) k = 2, p = 3
Решение:
Since, Matrices P and Y are of the orders p × k and 3 × k respectively.
Therefore, matrix PY will be defined if k = 3.
Then, PY will be of the order p × k = p × 3.
Matrices W and Y are of the orders n × 3 and 3 × k = 3 × 3 respectively.
As, the number of columns in W is equal to the number of rows in Y, Matrix WY is well-defined and is of the order n × 3.
Matrices PY and WY can be added only when their orders are the same.
Therefore, PY is of the order p × 3 and WY is of the order n × 3.
Thus, we must have p = n.
Therefore, k = 3 and p = n are the restrictions on n, k and p so that PY + WY will be defined.
Therefore, answer is (A)
Вопрос 22. Если n = p, то порядок матрицы 7X – 5Z таков:
(А) р × 2 (Б) 2 × п
(С) п × 3 (Г) п × п
Решение:
Matrix X is of the order 2 × n.
Therefore, matrix 7X is also of the same order.
Matrix Z is of order 2 × p = 2 × n -(∵ p = n)
Then, Matrix 5Z is also of the same order.
Now, both the matrices 7X and 5Z are of the order 2 × n.
Thus, matrix 7X – 5Z is well- defined and is of the order 2 × n.
Therefore, answer is (B)