Решение квадратных уравнений

Квадратные уравнения встречаются почти везде в нашей реальной жизни. Например, даже задачу проектирования детской площадки можно сформулировать в виде квадратного уравнения. Когда так много ситуаций порождают квадратные уравнения, возникает неподдельный интерес к поиску их решений. Допустим, Q(x) = 0 является квадратным уравнением. Решения квадратного уравнения представляют собой точки, в которых выполняется это уравнение, то есть Q (x) = 0. Решения также называются корнями / нулями квадратного уравнения. Рассмотрим некоторые подходы к решению квадратных уравнений.

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение является многочленом второй степени. Его общий вид задается,

ах ² + Ьх + с = 0

a, b и c — действительные числа, а a ≠ 0. Его форма — парабола, которая открывается вверх или вниз в зависимости от значения «a».

Его решением является точка, в которой выполняется уравнение. Существует несколько методов нахождения решения квадратного уравнения:

1. Факторинг
2. Завершение квадрата
3. Квадратичная формула

Факторинг

Мы пытаемся разложить уравнение так, чтобы получить уравнение в виде произведения двух членов. Тогда, приравняв эти два слагаемых нулю, мы получим корни.

The following steps must be used for finding the roots with factorization: 

1. All the terms must be on one side of the equation, either LHS or RHS leaving zero on the other side.
2. Factorize the equation
3. Set the factors equal to zero to find the roots one by one.

Давайте рассмотрим этот метод более подробно на примерах ниже:

Вопрос 1: Разложите на множители следующее уравнение и найдите его корни: 2x ² – x – 1 = 0

Решение:

2x² – x – 1 = 0 

⇒ 2x² -2x + x – 1 = 0 

⇒ 2x(x – 1) + 1(x – 1) = 0 

⇒ (2x + 1) (x – 1) = 0 

For this equation two be zero, either one of these or both of these terms should be zero. 

So, we can find out roots by equating these terms with zero. 

2x + 1 = 0

x =    

x – 1 = 0 

⇒ x = 1 

So, we get two roots in the equation. 

x = 1 and 

Вопрос 2: Разложите на множители следующее уравнение и найдите его корни: x ² + x – 12 = 0

Решение:

x² + x – 12 = 0

⇒ x² + 4x – 3x – 12 = 0

⇒ x(x + 4) -3(x + 4) = 0 

⇒ (x – 3) (x + 4) = 0 

Equating both of these terms with zero. 

x – 3 = 0 and x – 4 = 0 

x = 3 and 4

Завершение площади

Постараемся привести уравнение в виде целых квадратов, например: (x – a) ² – b ² = 0.

Steps for finding out roots by completing the square method:

Step 1: Bring the equation in the form ax² + bx = -c.

Step 2: We need to make sure that a = 1 (if a≠1, multiply through the equation by  before going to next step.)

Step 3: Use the value of b from this new equation and  to both sides of the equation to form a perfect square on the left side of the equation.

Step 4: Find the square root of the both sides of the equation.

Step 5: Solve the result to get the roots.

Давайте рассмотрим несколько примеров по этому поводу,

Вопрос 1: Найдите корни следующего уравнения, выполнив метод квадрата.

4 х ² + 12 х + 9 = 0.

Решение:

4x² + 12x + 9 = 0

⇒ (2x)² + 2(3)(2)x + 3² = 0

We can see that this equation is a perfect square, 

⇒ (2x + 3)² = 0 

To find out the zeros in this equation, 

2x + 3 = 0 

x = 

This equation has repeating root, which is x = 

В приведенном выше вопросе было уравнение, которое представляло собой идеальный квадрат, но это могло быть не каждый раз. В этих случаях мы приведем уравнение в приведенный выше вид, используя упомянутые шаги.

Вопрос 2: Найдите корни уравнения, выполнив метод квадрата.

9 х ² + 24 х + 3 = 0

Решение:

9x² + 24x + 3 = 0 

This equation can be re-written as, 

⇒ 9x² + 24x + 16 – 13 = 0 

⇒ (3x)² + 24x + 4² -13 =0 

⇒ (3x + 4)² -13 = 0 

⇒ (3x + 4)² -(√13)² = 0 

⇒ (3x + 4)² = (√13)²

Taking square root of the both sides of the equation. 

3x + 4 = √13 or 3x + 4 = -√13

We get our roots by solving these two equations, 

3x + 4 = √13 

x = 

Similarly,

3x + 4 = – √13 

x = 

Квадратичная формула

Все квадратные уравнения можно решить с помощью квадратной формулы.

For an equation of the form, 

ax² + bx + c = 0, 

Where a, b and c are real numbers and a ≠ 0.

The roots of this equation are given by, 

x =  

Given that b² – 4ac is greater than or equal to zero. 

Вопрос 1: Найдите корни уравнения, используя квадратную формулу,

4 х ² + 10 х + 3 = 0

Отвечать:

4x² + 10x + 3 = 0

Using Quadratic Formula to solve this, 

a = 4, b = 10 and c = 3

Before plugging in the values, we need to check for the discriminator 

b² – 4ac 

⇒ 10² – 4(4)(3) 

⇒ 100 – 48 

⇒ 52 

This is greater than zero, So now we can apply the quadratic formula. 

Plugging the values into quadratic equation, 

Вопрос 2: Найдите корни уравнения с помощью квадратичной формулы,

5 х ² + 9 х + 4 = 0

Решение:

5x² + 9x + 4 = 0 

Using Quadratic Formula, 

a = 5, b = 9 and c = 4.

Before plugging in the values, we need to check for the discriminator 

b² – 4ac 

⇒ 9² – 4(5)(4) 

⇒ 81 – 80 

⇒ 1

This is greater than zero, So the quadratic formula can be applied. Plugging in the values in the formula,