Разница между методом Ньютона-Рафсона и обычным методом Фальси

Численные вычисления играют важную роль в решении реальных математических задач. Численные методы - это процедуры, применяющие арифметические операции, с помощью которых можно формулировать математические задачи, чтобы найти приблизительный результат. При этом нет необходимости в алгоритмах, поскольку численные методы требуют для реализации концепции логики программирования. Ниже приведен процесс численного метода,

• Формулируются математические задачи на простые арифметические операции. Такая постановка называется численной реализацией задачи.
• Затем разрабатывается программная логика для численной реализации. Программирование обычно выполняется на некоторых языках высокого уровня, таких как Fortran, Basic и т. д.
• Затем программы выполняются на вычислительных инструментах, таких как компьютеры.
• Результаты отображаются на экране.

Существуют различные численные методы решения задачи, но конкретный метод зависит от ситуации, из которой берется задача. Под понятие получения корней уравнения подпадают следующие методы.

Метод Ньютона Рафсона

Метод Ньютона-Рафсона — один из самых быстрых среди методов деления пополам и ложного положения. В этом методе используйте одно начальное приближение вместо двух. Это процесс определения действительного корня уравнения f (x) = 0, учитывая только одну точку, близкую к желаемому корню.

Формула для метода Ньютона-Рафсона: x ₁ = x ₀ – f(x ₀ )/f'(x ₀ )

Пример: найти корень уравнения f(x) = x ³ – x – 1

Решение:

Данное уравнение x ³ – x – 1 = 0

Используя метод дифференциации, уравнение выглядит следующим образом:

∴ f′(x) = 3x ² – 1

Здесь f(1) = -1 < 0 и f(2) = 5 > 0

∴ Корень лежит между 1 и 2

х ₀ = (1 + 2)/2 = 1,5

• В 1-й итерации

f( _x0 ) = f(1,5) = 0,875

f′(x ₀ ) = f′(1,5) = 5,75

х ₁ = х ₀ - f ( х ₀ ) / f ' ( х ₀ )

=1,5 – 0,875/ 5,75

х ₁ = 1,34783

• Во 2-й итерации

f( _x1 ) = f(1,34783) = 0,10068

f'( _x1 ) = f'(1,34783) = 4,44991

х ₂ = х ₁ - f ( х ₁ ) / f ' ( х ₁ )

= 1,34783 – 0,10068/4,44991

х ₂ = 1,3252

• В 3-й итерации

f(x2) ₌ f(1,3252) = 0,00206

f'(x2) ₌ f'(1,3252) = 4,26847

х ₃ = х ₂ - f ( х ₂ ) / f ' ( х ₂ )

=1,3252 – 0,00206/4,26847

х ₃ = 1,32472

• В 4-й итерации

f(x3) = f( _1,32472 ) = 0

f'(x3) = f'( _1,32472 ) = 4,26463

х ₄ = х ₃ - f ( х ₃ ) / f ' ( х ₃ )

=1,32472 – 0/4,26463

х ₄ = 1,32472

Приблизительный корень уравнения x ³ – x – 1 = 0 по методу Ньютона Рафсона равен 1,32472.

Преимущества метода Ньютона Рафсона

• Это лучший метод решения нелинейных уравнений.
• Он также используется для решения нелинейных уравнений, нелинейных дифференциальных и нелинейных интегральных уравнений.
• Порядок сходимости квадратичный.
• Легко реализовать на компьютере.

Недостатки метода Ньютона Рафсона

• Этот метод усложняется, если производная функции f(x) не является простой.
• Этот метод также не работает, если f(x) = 0 для некоторого значения x.
• На каждой итерации мы должны оценить две величины f(x) и f'(x) для некоторого x.

Обычный метод Фальси

Этот метод аналогичен методу деления пополам, но он должен быть быстрее, чем метод деления пополам. Это один из старейших методов нахождения действительного корня уравнения f(x) = 0, очень похожий на метод деления пополам.

Формула для регулярного ложного метода:

Пример: найти корень уравнения f(x) = x ³ – x – 1

Решение:

Учитывая уравнение, х ³ - х - 1 = 0

пусть х = 0, 1, 2

• В 1-й итерации

f(1) = -1 < 0 и f(2) = 5 > 0

Корень лежит между этими двумя точками x ₀ = 1 и x ₁ = 2

х ₂ = х ₀ - f (х ₀ )

= х ₁ – х ₀

f( _x1 ) – f( _x0 )

х ₂ = 1 – (-1)⋅

= 2 – 1

= 5 – (-1)

х ₂ = 1,16667

f(x2) ₌ f(1,16667) = -0,5787 < 0

• Во 2-й итерации

f (1,16667) = -0,5787 < 0 и f (2) = 5 > 0

Корень лежит между этими двумя точками x ₀ = 1,16667 и x ₁ = 2

х ₃ = х ₀ - f (х ₀ )

= х ₁ – х ₀

f( _x1 ) – f( _x0 )

х ₃ = 1,16667 – (-0,5787)

= 2 – 1,16667

= 5 – (-0,5787)

х ₃ = 1,25311

f(x3) = f( _1,25311 ) = -0,28536 < 0

• В 3-й итерации

f(1,25311) = -0,28536 < 0 и f(2) = 5 > 0

Корень лежит между этими двумя точками x ₀ = 1,25311 и x ₁ = 2

х ₄ = х ₀ - f (х ₀ )⋅

= х ₁ – х ₀

f( _x1 ) – f( _x0 )

х ₄ = 1,25311 – (-0,28536)⋅

= 2 – 1,25311

= 5 – (-0,28536)

х ₄ = 1,29344

f(x4) = f( _1,29344 ) = -0,12954 < 0

• В 4-й итерации

f(1,29344) = -0,12954 < 0 и f(2) = 5 > 0

Корень лежит между этими двумя точками x ₀ = 1,29344 и x ₁ = 2

х ₅ = х ₀ - f (х ₀ )⋅

= х ₁ – х ₀

= f( _x1 ) – f( _x0 )

х ₅ = 1,29344 – (-0,12954)⋅

= 2 – 1,29344

= 5 – (-0,12954)

х ₅ = 1,31128

f(x5) = f( _1,31128 ) = -0,05659 < 0

• В 5-й итерации

f(1,31128) = -0,05659 < 0 и f(2) = 5 > 0

Корень лежит между этими двумя точками x ₀ = 1,31128 и x ₁ = 2

х ₆ = х ₀ - f (х ₀ )⋅

= х ₁ – х ₀

= f( _x1 ) – f( _x0 )

х ₆ = 1,31128 – (-0,05659)⋅

= 2 – 1,31128

= 5 – (-0,05659)

х ₆ = 1,31899

f(x ₆ ) = f(1,31899) = -0,0243 < 0

• В 6-й итерации

f(1,31899) = -0,0243 < 0 и f(2) = 5 > 0

Корень лежит между этими двумя точками x ₀ = 1,31899 и x ₁ = 2

х ₇ = х ₀ - f (х ₀ )⋅

= х ₁ – х ₀

f( _x1 ) – f( _x0 )

х ₇ = 1,31899 – (-0,0243)⋅

= 2 – 1,31899

= 5 – (-0,0243)

х ₇ = 1,32228

f(x7) = f( _1,32228 ) = -0,01036 < 0

• В 7-й итерации

f(1,32228) = -0,01036 < 0 и f(2) = 5 > 0

Корень лежит между этими двумя точками x ₀ = 1,32228 и x ₁ = 2

х ₈ = х ₀ - f (х ₀ )⋅

х ₁ – х ₀

f( _x1 ) – f( _x0 )

х ₈ = 1,32228 – (-0,01036)⋅

= 2 – 1,32228

= 5 – (-0,01036)

х ₈ = 1,32368

Приблизительный корень уравнения x ³ – x – 1 = 0 с использованием метода Regula Falsi равен 1,32368.

Преимущества регулярного фальси-метода

• Его сходимость быстрее, чем метод деления пополам.
• Его легко реализовать на компьютере.
• Перед началом следующей итерации; нужно только найти id f(x _{n + 1} )

Недостатки обычного метода фальси

• Формула очень сложная.
• Требует много времени по сравнению с другими методами.

Сравнение обычного метода Фальси и метода Ньютона-Рафсона