Разложим f(z) = z2 на действительную и мнимую части

Все знакомы с концепцией уравнений в математике и их различными типами, такими как (x + p = q); (x × p = q), (x ² = a) и т. д. Но что делать, если данное уравнение равно x ² + 69 = 0? Как это решить? Выводятся следующие основные арифметические операции: x = . Это вообще возможно? Да, с концепцией комплексных чисел подобные уравнения могут быть решены с допустимыми решениями.

Комплексные числа

Комплексные числа — это те числа, которые состоят как из действительных, так и из мнимых составляющих и могут быть выражены в виде z = a + ib, где i (iota) = √ (-1), a и b представляют действительную и мнимую части соответственно. . Например, 69 + 420i — это комплексное число, где 69 — действительное число, а 420i — его мнимая составляющая.

Определение действительных и мнимых частей

Проще говоря, часть комплексного числа, записанная без йоты (i), называется действительной частью, а та, которая сопровождается йотой, называется мнимой частью. Это случай, используемый для комплексных чисел, которые уже находятся в своей прямоугольной/стандартной форме. Если дано квадратное, кубическое или какое-либо другое выражение, то сначала нужно вычислить его, а затем определить действительную и мнимую части.

Например, (1 + i) ² нужно сначала разложить, используя тождество (a + b) ² = a ² + 2ab + b ² , а затем разложить на действительные и мнимые составляющие.

Разобьем f(z) = z ² на действительную и мнимую части.

Решение:

Given: w = f(z) = z²

Let z = x + iy, as per the standard form of a complex number.

⇒ z² = (x + iy)² = x² + 2(x)(iy) + (iy)²

= x² – y² + i(2xy)

Hence, the real part is x² – y² and the imaginary part is 2xy.

Похожие проблемы

Вопрос 1: Найдите действительную и мнимую части (1 + i) ² .

Решение:

(1 + i)2 = 1² + i² + 2i 

= 1 – 1 + 2i

= 2i

Thus, (1 + i)² has no real part and the imaginary part is 2.

Вопрос 2: Найдите действительную и мнимую части (1 – i) ² .

Решение:

(1 – i)² = 1² + i² – 2i 

= 1 – 1 – 2i

= -2i

The real part of (1 – i)² is 0 and the imaginary part is -2i.

Вопрос 3: Найдите действительную и мнимую части (3 + 2i) ² .

Решение:

(3 + 2i)² = 3² + 2(2i)(3) + (2i)²

= 9 + 4(-1) + 12i

= 5 + 12i

Thus, real part is 5 and the imaginary part is 12.

Вопрос 4: Найдите действительную и мнимую части (12 + 6i) ² .

Решение:

(12 + 6i)² = 12² + 2(12)(6i) + (6i)²

= 144 + 36(-1) + 144i

= 108 + 144i

Thus, real part is 108 and the imaginary part is 144.

Вопрос 5: Найдите действительную и мнимую части (10 + 10i) ² .

Решение:

(10 + 10i)² = 10² + 2(10)(10i) + (10i)²

= 100 + 200(-1) + 100i

= -100 + 100i

Thus, real part is -100 and the imaginary part is 100.