Производная экспоненциальной и логарифмической функций

Экспоненциальные и логарифмические функции — это класс функций, которые широко используются в разных областях науки. Экспоненциальные функции увеличиваются очень быстро, а логарифмические функции имеют тенденцию насыщаться по мере увеличения входных значений. На рисунке ниже видно, что по мере увеличения степени x функции начинают расти быстрее, а график становится круче. Экспоненциальные функции относятся к аналогичному классу функций.

На рисунке ниже представлен график логарифмической и экспоненциальной функции.

Производная показательной функции

Начнем с экспоненциальной функции,

у = е ^х

Для его дифференциации обычное использование энергии, которое используется, обычно не работает. Итак, давайте выведем производную от этого, используя ограничения. Производная функции с использованием ограничений определяется выражением

Теперь этот последний предел является точно определением приведенной выше производной f'(x) при x = 0, т.е. f'(0). Следовательно, производная становится

f'( ^x ) = bxf'(0) = ^bx

Итак, в случае натуральных экспоненциальных функций f(x) = e ^x

Note: In general exponential cases, for example, y = b^x, where b is a real number. The derivative for this kind of function is

Вопрос 1: Дифференцируйте f(x) = 4e ^x – 5 ^x

Отвечать:

The derivation of e^x will remain e^x, the derivative of 5^x will become 5^xln(5) as explained above.

Therefore, f"(x) = 4e^x – 5^xln(x)

Вопрос 2: Дифференцируйте

Отвечать:

Here, following Quotient Rule, differentiate the function g(x):

Вопрос 3: Найдите значение F'(x) при x=0, когда f(x) = 7 ^x + 2e ^x

Отвечать:

Differentiating: f"(x) = 7^xln(7) + 2e^x

at x=0, f"(0) = 7⁰ln(7) + 2e⁰

= ln(7) + 2

= 3.945

Производная логарифмической функции

Теперь давайте посмотрим, как вычисляются производные для логарифмической функции. Обратите внимание на то, что эти функции на самом деле обратны друг другу.

Note: If two functions are inverses of each other then, 

Известно, что натуральная экспонента и натуральный логарифм обратны друг другу. Мы можем использовать указанное выше свойство, чтобы найти производную логарифмической функции.

Допустим, f(x) = e ^x и g(x) = log _e x.

Давайте рассмотрим несколько примеров производных обеих этих функций.

Вопрос 1: Дифференцируйте: y(x) = x ⁵ – e ^x ln(x)

Отвечать:

Differentiating using chain rule: 

Вопрос 2: Рассчитайте производные для

(i) и ^-x (ii) sin(logx) (iii) и ^cos(x)

Отвечать:

(i) Let y = e^-x, to find the differentiation of this function we need to use chain rule. 

(ii) y = sin(logx). It also requires chain rule for differentiation. 

(iii) y = e^cos(x) 

Вопрос 3: Вычислите производную f(x) = 3e ^x + 10x ³ log(x).

Отвечать:

The derivative requires chain rule and the formulas studied above,