Продукт для суммирования формул

Как следует из названия, тригонометрия означает изучение треугольников. Тригонометрия более точно связана с прямоугольными треугольниками, где один из внутренних углов равен 90 градусов. Это важный раздел математики, который помогает нам определить отсутствующие или неизвестные углы или длины сторон в треугольнике и изучает отношения между углами и длинами сторон прямоугольного треугольника. Синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс — это шесть тригонометрических отношений или функций, где тригонометрическое отношение определяется как отношение длин сторон прямоугольного треугольника.

The six trigonometric ratios/functions are:

• sin θ = Opposite side/Hypotenuse
• cos θ = Adjacent side/Hypotenuse
• tan θ = Opposite side/Adjacent side
• cosec θ = Hypotenuse/Opposite side
• sec θ = Hypotenuse/Adjacent side
• cot θ = Adjacent side/Opposite side

Формулы произведения для суммы/разности

Тождества произведения на сумму используются для выражения произведения функций синуса и/или косинуса в виде суммы или разности. Формулы суммы и разности функций синуса и косинуса складываются или вычитаются для получения этих тождеств. Тождества произведения на сумму можно использовать для упрощения тригонометрического выражения. Интегралы или производные тригонометрических функций могут быть легко решены с помощью этих тождеств. Для всех возможных комбинаций произведений синуса и косинуса всего существует четыре формулы произведения для суммирования или разности.

Тождества продукта для суммы/разности

Вывод произведения в сумму/разность тождеств

Формулы произведения для суммы/разности могут быть получены с использованием тригонометрических формул суммы/разности.

Формулы суммы/разности приведены ниже:

• sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B ———— (1)
• sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B ———— (2)
• cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B ———— (3)
• cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B ———— (4)

cos A cos B Формула

Чтобы получить формулу cos A cos B, добавьте уравнения (3) и (4)

⇒ cos (A + B) + cos (A – B) = [cos A cos B – sin A sin B] + [cos A cos B + sin A sin B]

⇒ cos (A + B) + cos (A – B) = cos A cos B + cos A cos B

⇒ cos (A + B) + cos (A – B) = 2 cos A cos B

Следовательно,

  cos A cos B =  (½) [cos (A + B) + cos (A – B)]

cos A sin B Формула

Чтобы получить формулу cos A sin B, вычтите уравнения (2) из (1)

⇒ sin (A + B) – sin (A – B) = [sin A cos B + cos A sin B] – [sin A cos B – cos A sin B]

⇒ sin (A + B) – sin (A – B) = sin A cos B + cos A sin B – sin A cos B + cos A sin B

⇒ грех (А + В) – грех (А – В) = 2 потому что А грех В

Следовательно,

cos A sin B = (½) [sin (A + B) – sin (A – B)]

sin A cos B Формула

Чтобы получить формулу cos A cos B, добавьте уравнения (1) и (2)

⇒ sin (A + B) + sin (A – B) = [sin A cos B + cos A sin B] + [sin A cos B – cos A sin B]

⇒ грех (А + В) + грех (А - В) = грех А, потому что В + грех А, потому что В

⇒ sin (A + B) + sin (A – B) = 2 sin A cos B

Следовательно,

sin A cos B = (½) [sin (A + B) + sin (A – B)]

формула sin A sin B

Чтобы получить формулу cos A sin B, вычтите уравнения (4) из (3)

⇒ cos (A – B) – cos (A + B) = [cos A cos B + sin A sin B] – [cos A cos B – sin A sin B]

⇒ cos (A – B) – cos (A + B) = cos A cos B + sin A sin B – cos A cos B + sin A sin B

⇒ cos (A – B) – cos (A + B) = 2 sin A sin B

Следовательно,

sin A sin B = (½) [cos (A – B) – cos (A + B)]

Примеры проблем

Задача 1: выразить 6 cos 8x sin 5x как сумму/разность.

Решение:

From one of the product to sum formulas, we have

cos A sin B = (½) [sin (A + B) – sin (A – B)]

So, by substituting A = 8x and B = 5x in the above formula, we get

cos 8x sin 5x = (½) [ sin (8x + 5x) – sin (8x – 5x) ]

cos 8x sin 5x = (½) [sin 13x – sin 3x]

Now, 6 cos 8x sin 5x = 6 × (½) [sin 13x – sin 3x]

Hence, 6 cos 8x sin 5x = 3 [sin 13x – sin 3x]

Задача 2: Определить значение интеграла от cos 4x cos 6x.

Решение:

From one of the product to sum formulas, we have

cos A cos B = (½) [cos (A + B) + cos (A – B)]

cos 4x cos 6x = ½ [cos (4x + 6x) + cos (4x – 6x)]

= (½) [cos 10x + cos (-2x)]

= (½) [cos 10x + cos 2x]       {Since, cos (-θ) = cos θ}

Now, integral of cos 4x cos 6x = ∫ cos 4x cos 6x dx

= ∫(½) [cos 10x + cos 2x] dx

= (½) [1/10 sin 10x + 1/2 sin 2x] + C   {Since, ∫cos(ax) dx = 1/a sin(ax) + c}

= 1/20 sin(10x) + 1/2 sin(2x) + C

Hence, integral of cos 4x cos 6x = 1/20 sin(10x) + 1/2 sin(2x) + C

Задача 3: Определить значение sin 36° cos 54° без оценки значений sin 36° и cos 54°.

Решение:

From one of the product to sum formulas, we have

sin A cos B = (½) [sin (A + B) + sin (A – B)]

So, sin 36° cos 54° = (½) [sin (36° + 54°) + sin (36° – 54°)]

= (½) [sin (90°) + sin (-18°)]

= (½) [sin 90° – sin 18°]       {Since, sin (-θ) = – sin θ}

= (½) [1 – 0.3090]                {Since, sin 90° = 1, sin 18° = 0.3090}

= 0.3455

Hence, sin 36° cos 54° = 0.3455.

Задача 4: Определить значение производной от 4 cos 3x sin 2x.

Решение:

From one of the product to sum formulas, we have

cos A sin B = (½) [sin (A + B) – sin (A – B)]

Now, 4 cos 3x sin 2x = 4 × (½) [sin (3x + 2x) – sin (3x – 2x)]

= 2 [sin 5x – sin x]

Now, derivative of 4 cos 3x sin 2x = d(4 cos 3x sin 2x)/dx

= d/(2 [sin 5x – sin x])/dx

= 2 [ d(sin 5x)/dx – d(sin x)/dx ]

= 2 [5 cos 5x – cos x]                 {Since, d(sin ax)/dx = a cos ax}

Hence, derivative of 4 cos 3x sin 2x = 2 [5 cos 5x – cos x] .

Задача 5: Определить значение sin 15° sin 45° без оценки значений sin 15° и sin 45°.

Решение:

From one of the product to sum formulas, we have

sin A sin B = (½) [cos (A – B) – cos (A + B)]

Now, sin 15° sin 45° = (½)[cos (15° – 45°) – cos (15° + 45°)]

= (½) [cos (-30°) – cos (60° )]

= (½) [cos 30° – cos 60°]   {Since, cos (-θ) = cos θ}

= (½) [√3/2 – 1/2]            {Since, cos 30° = √3/2 and cos 60° = 1/2}

= (½) [(√3 -1)/2]

= (√3 -1)/4

Hence, sin 15° sin 45° = (√3 -1)/4.

Задача 6: Выразите 2 cos 9x cos 7x как сумму/разность.

Решение:

From one of the product to sum formulas, we have

cos A cos B = (½) [cos (A + B) + cos (A – B)]

Now, 2 cos 9x cos 7x = 2 × (½) [cos (9x + 7x) + cos (9x – 7x)]

= [cos (16x) + cos (2x)]

Hence, 2 cos 9x cos 7x = [cos 16x + cos 2x]