Принцип суперпозиции волн

Волны окружают нас почти везде в реальной жизни. Wi-Fi, мобильная сеть и любая другая беспроводная связь состоят из волн разных длин волн. Благодаря экспериментам Томаса Юнга было установлено, что свет имеет волновую природу. Поскольку было установлено, что многие окружающие нас физические явления образуют волны, стало необходимым изучить суперпозицию между двумя или более волнами. Волны не ведут себя так. Давайте подробно изучим эти понятия.

Принцип суперпозиции

Когда две или более волны распространяются в одной и той же среде, они неизбежно взаимодействуют друг с другом. Они сохраняют свою волновую природу после объединения друг с другом, но обычно результирующая волна отличается от обеих отдельных волн. Принцип суперпозиции помогает нам описать результирующую волну или движение, возникающее при объединении двух или более волн друг с другом. На рисунке ниже показаны две волны, вызывающие некоторое смещение частиц данной среды. В этом случае принцип суперпозиции гласит, что

The resultant displacement of a number of waves in the medium at a particular point is the vector sum of the individual displacements produced by wave at each point. 

На приведенном выше рисунке даны две волны с индивидуальными смещениями y ₁ и y ₂ . Обратите внимание, что результирующая волна от суперпозиции этих двух волн имеет большее смещение, чем две отдельные волны.

Принципы суперпозиции могут быть применены к любому типу волн при условии, что:

1. Наложенные волны относятся к одному типу.
2. Среда, в которой распространяются волны, ведет себя линейно, это означает, что частицы среды, смещенные с удвоенным смещением, испытывают на себе удвоенную возвращающую силу.

В случае с волнами на рисунке выше показаны две волны, распространяющиеся в противоположных направлениях. Эти волны производят равные перемещения в веревке. Обратите внимание, что на рисунке (с) когда обе волны перекрываются, результирующее смещение равно нулю.

В математических терминах принцип суперпозиции можно описать следующим образом. Допустим, y ₁ (x, t) и y ₂ (x, t) — это смещения, производимые двумя волнами в среде. Пусть P будет точкой, где эти два пути сходятся и встречаются. Теперь, используя принцип суперпозиции, найдем равнодействующее перемещение (y).

у = у ₁ (х, т) + у ₂ (х, т)

Если две или более волны распространяются и встречаются в одной точке среды, а волновые функции для отдельных волн определяются выражением

у = f ₁ (х – vt)

у = f ₂ (х – vt)

…

y ₌ fn (x – vt)

Результирующая волна после смещения определяется выражением

y = f₁(x – vt) + f₂(x – vt) +  f₃(x – vt) + …. f_n(x – vt)

Конструктивное вмешательство

Рассмотрим две волны, распространяющиеся с одинаковой скоростью. Так как эти две волны распространяются с одинаковой скоростью и встречаются в определенной точке. Проанализируем результирующую амплитуду волны, которая возникает после наложения этих волн. Предполагая, что уравнения для смещения, создаваемого обеими волнами, одинаковы и имеют вид

и ₁ = acos( ωt)

и ₂ = acos(ωt)

Теперь, используя принцип суперпозиции, найдем равнодействующее перемещение (y).

у = у ₁ + у ₂

⇒ y = acos( ωt) + acos(ωt)

⇒ у = 2acos(ωt)

Известно, что интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Так как амплитуда в этом случае становится вдвое больше исходной амплитуды. Результирующая интенсивность определяется выражением

я = 4я ₀

Где I ₀ — интенсивность исходной волны.

Так как интенсивность увеличивается после суперпозиции. Это называется конструктивной интерференцией .

Разрушительное вмешательство

Рассмотрим две волны, распространяющиеся с одинаковой скоростью. Так как эти две волны распространяются с одинаковой скоростью и встречаются в определенной точке. Проанализируем результирующую амплитуду волны, которая возникает после наложения этих волн. Предполагая, что уравнения для смещения, создаваемого обеими волнами, на этот раз противоположны и имеют вид

и ₁ = acos( ωt)

и ₂ = acos(ωt + 5π )

у = у ₁ + у ₂

⇒ y = acos( ωt) + acos(ωt + 5π )

⇒.y = acos( ωt) – acos( ωt)

⇒ у = 0

Итак, на этот раз два смещения в противоположных направлениях привели к нулевой амплитуде и нулевой интенсивности. Это называется деструктивной интерференцией. Разность хода при деструктивной интерференции можно обобщить до ( n + 0,5) где n = 0, 1, 2, 3….

Давайте посмотрим на некоторые примеры этих понятий.

Примеры проблем

Вопрос 1: Явления интерференции можно объяснить каким из следующих принципов:

1. Принцип Гейзенберга
2. Принцип Ферми
3. Принцип суперпозиции
4. Квантовая механика

Отвечать:

Phenomena of interference can be explained by “Superposition Principle”. It states that, 

“The resultant displacement of a number of waves in the medium at a particular point is the vector sum of the individual displacements produced by wave at each point.”

Вопрос 2: Две волны, распространяющиеся в среде, задаются следующими уравнениями:

у ₁ = 2acos( ωt)

у ₂ = 2acos(ωt + π )

Найдите результирующую амплитуду после их наложения.

Отвечать:

y = 2acos(ωt) + 2acos(ωt + π)

⇒ y = 2acos(ωt) – 2acos(ωt)

⇒ y = 0 

The resulting amplitude becomes zero. 

Вопрос 3. Две волны, распространяющиеся в среде, задаются следующими уравнениями:

и ₁ = acos(0,5 ωt)

y ₂ = acos (0,5ωt + 2 π )

Найдите результирующую амплитуду после их наложения.

Отвечать:

y = acos(0.5ωt) + acos(0.5ωt + 2π)

⇒ y = acos(0.5ωt) + acos(0.5ωt)

⇒ y = 2acos(0.5ωt)

The resulting amplitude becomes “2a”. 

Вопрос 4: Две волны, распространяющиеся в среде, задаются следующими уравнениями:

у ₁ = 2acos( ωt)

y ₂ =3acos(ωt + π )

Найдите результирующую амплитуду после их наложения.

Отвечать:

y = 2acos(ωt) + 3acos(ωt + π)

⇒ y = 2acos(ωt) – 3acos(ωt)

⇒ y = -acos(ωt) 

Вопрос 5. Две волны, распространяющиеся в среде, задаются следующими уравнениями:

и ₁ = acos( ωt)

y ₂ =acos(ωt + 2 π )

Найдите результирующую амплитуду после их наложения.

Отвечать:

y = acos(ωt) + acos(ωt + 2π)

⇒ y = acos(ωt) + acos(ωt)

⇒ y = acos(ωt)

The resulting amplitude becomes “8a”.