Погрешность измерения

В химии студенты часто имеют дело с экспериментальными данными и теоретическими расчетами. Большая часть данных присутствует в чрезвычайно большом количестве квантов. Эта неопределенность измерения представляет собой диапазон возможных значений, в пределах которого существует истинное/реальное значение измерения. Существуют практические способы удобной обработки этих цифр и максимально реалистичного представления данных.

Научная нотация

Как обсуждалось выше, атомы и молекулы имеют очень малую массу и присутствуют в чрезвычайно большом количестве. Здесь мы имеем дело с числами от 602 200 000 000 000 000 000 000 для молекул всего 2 г газообразного водорода H ₂ до 0,0000000000000000000000000166 г, что составляет массу атома водорода. В аналогичном масштабе существуют значения таких констант, как скорость света, постоянная Планка, электрический заряд частиц и т. д.

Таким образом, при работе с числами, содержащими такие шкалы нулей, становится чрезвычайно сложно выполнять простые вычисления сложения, вычитания, умножения и деления. Чтобы решить эти вопросы, ученые разработали научную запись для таких чисел.

Научная нотация здесь — это экспоненциальная нотация, в которой можно представить данное число в виде N × 10 ⁿ , где N — числовой термин в диапазоне от 1,000… до 9,999…, а n — показатель степени положительных или отрицательных значений. Соответственно, можно записать 2702,0109 как 2,7020109 × 10 ³ в научной записи. Можно заметить, что однажды он сдвинул десятичную точку на три знака влево и, таким образом, добавил показатель степени (3) числа 10 к научной записи. Точно так же запишите 0,00001008565 как 1,008565 × 10 ^-5 . Здесь десятичная запятая сдвинута вправо на пять знаков, так как (-5) показатель степени 10 в экспоненциальном представлении.

Умножение и деление

И умножение, и деление следуют тем же правилам, что и для экспоненциальных чисел. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как выполняется умножение и деление.

Пример 1: (4,2342 × 10 ¹⁹ ) × (7,32 × 10 ⁵ )

Решение:

(4.2342 × 10¹⁹) × (7.32 × 10⁵)

= (4.2342 × 7.32) × 10⁽¹⁹⁺⁵⁾

= 30.994344 × 10²⁴

= 3.099 × 10²⁵

Пример 2: (6,23 × 10 ⁶ ) ÷ (8,33 × 10 ^-2 )

Решение:

(6.23 × 10⁶) ÷ (8.33 × 10^-2)

= (6.23 ÷ 8.33) × 10^6-(-2)

= (0.74789) × 10⁸

= 7.4789 × 10⁷

Сложение и вычитание

Для сложения и вычитания сначала убедитесь, что числа присутствуют в одном и том же показателе степени. После этого цифровые члены (коэффициенты) могут быть добавлены или вычтены по мере необходимости.

Пример 1: (5,12 × 10 ³ ) + (6,84 × 10 ⁵ )

Решение:

(5.12 × 10³) + (6.84 × 10⁵)

= (5.12 × 10³) + (684 × 10³)

= (5.12 + 684) × 10³

= 689.12 × 10³

= 6.8912 × 10⁵

Пример 2: (2,57 × 10 ⁵ ) – (9,46 × 10 ³ )

Решение:

(2.57 × 10⁵) – (9.46 × 10³)

= (2.57 × 10⁵) – (0.0946 × 10⁵)

= (2.57 + 0.0946) × 10⁵

= 2.4757 × 10⁵

Значимые фигуры

Все экспериментальные измерения имеют некоторую неопределенность из-за недостатков измерительного прибора и недостаточной точности наблюдения. Например, при наблюдении масса объекта должна составлять 15 граммов на платформенных весах. Однако тот же объект может весить 15,239 грамма на аналитических весах. Таким образом, всегда не всегда можно правильно сказать точное измерение. Эта неопределенность данных экспериментальных или расчетных значений показана количеством значащих цифр.

Значимые цифры — это цифры, которые известны с уверенностью, плюс одна цифра, которая является оценочной или неопределенной. Таким образом, неопределенность отображается путем написания определенных цифр и последней неопределенной цифры. Например, если температура в комнате 35,2 °C, считайте 35 достоверными, а 2 — неопределенными. Неопределенность этой последней цифры равна +1. Если это не указано, учитывайте +1 непосредственно в последней цифре.

Правила определения количества значащих цифр в данном измерении.

1. Все ненулевые цифры должны считаться значащими. Например, 123 имеет три значащих цифры, а 0,123 также имеет три значащих цифры.
2. Нули, предшествующие первому ненулевому значению, не имеют значения. Эти нули указывают положение данной десятичной точки. Таким образом, 0,02 имеет одну значащую цифру, а 0,000027 также имеет только две значащие цифры.
3. Нули между любыми двумя ненулевыми цифрами являются значащими. Таким образом, 9,003 имеет четыре значащих цифры.
4. Нули в конце или справа от числа (если они стоят справа от запятой) являются значащими. Например, 0,500 мл имеет три значащих цифры. Однако конечные нули не имеют значения, если нет десятичной точки. Например, 9000 имеет только одну значащую цифру, а 9000. имеет четыре значащих цифры, а 9000.0 — пять значащих цифр. Эти числа лучше представлять в экспоненциальном представлении. Мы предпочли бы выразить 9000 как 9 × 10 ³ для одной значащей цифры или 9,00 × 10 ³ для трех значащих цифр.
5. Точные числа могут быть представлены бесконечными значащими цифрами. Например, 50 можно записать как 50.0000000 или 734 можно записать как 743.000000000 и так далее. В экспоненциальном представлении все цифры значащие. Например, 3,545 × 10 ^-2 имеет четыре значащих цифры, а 9,43 × 10 ⁶ — три значащих цифры.

Тщательность и точность

Точность означает близость различных измерений одной и той же величины. Точность — это согласие определенного значения с истинным значением измерения.

Например, предположим, что трое студентов Алекс, Боб и Кэрол измеряют длину учебника по физике. Реальная длина книги, которая известна, составляет 29,5 см. Алекс измеряет и сообщает два значения 28,0 см и 28,2 см. Оба эти значения являются точными, поскольку они близки друг к другу, но не точны. Боб измеряет и сообщает два значения: 28,5 см и 30,5 см. Среднее значение этих значений является истинным значением, но это наблюдение, хотя и точное, не является точным. Кэрол повторяет этот эксперимент и измеряет 29,4 см и 29,6 см. Оба эти значения точны и точны, поскольку они близки друг к другу, а среднее значение является истинным значением.

Примеры проблем

Вопрос 1: Что такое размерный анализ? Приведите пример.

Отвечать:

When dealing with calculations, we often need to convert units from one system to another. The method to do so is called factor label method or unit factor method or dimensional analysis. 

For example, to find the length of a pen of 5 inches in cm.

By convention, 1 inch = 2.54 cm.

From this equivalence, write 1 inch / 2.54 cm = 1 = 2.54 cm / 1 inch. This means that both these are unit factors and are here considered equal to 1. Thus, now multiply 5 inches to this to calculate the measurement in cm. 

Therefore, 5 × (2.54 cm / 1 inch) = 12.7 cm.

Thus, the length of the pen in cm is 12.7 cm.

Вопрос 2: Что такое научная нотация? Запишите 7654630000210000 в экспоненциальном представлении.

Отвечать:

Scientific Notation is the exponential notation in which we can represent a given number in the form of N x 10^n, where N is a digit term that ranges between 1.000… and 9.999…, and n is an exponent of positive or negative values. 

For example, we can write 7630210000 as 7.653021 × 10⁹ in scientific notation. 

Вопрос 3: В чем разница между Precision и Accuracy?

Отвечать:

Precision stands for the closeness of different measurements for the same quantity. Accuracy is the consensus of a particular value to the true value of the measurement. Thus, precision means how close the measurements are and accuracy stands for how correct the values are. 

Вопрос 4: Точный вес предмета 2,50 кг. Студент по имени Дэвид весил 2,46 кг, 2,49 кг и 2,52 кг соответственно. Комментарий.

Отвечать:

David’s measurements are 2.46 kg, 2.49 kg and 2.52 kg. The average of these values is 2.49 kg. Considering the true value being 2.50 kg, we can comment that the measurements are accurate, but not precise as 2.46 kg and 2.52 kg are not close values. 

Вопрос 5: Умножьте 4,3545 × 1,9. Вычислите ответ через значащие цифры.

Отвечать:

4.3545 × 1.9 = 8.27355.

However, when considered in terms of significant figures, in these operations, the result must be reported with no more significant figures as in the measurement with the few significant figures.

Thus, one can have maximum only two significant figures as 1.9 has only two significant figures. 

Therefore, 4.3545 × 1.9 = 8.2, where 8.2 has only 2 significant figures. 

Вопрос 6: Подсчитайте количество секунд в 3 днях.

Отвечать:

By convention, 1 day = 24 hours.

From this equivalence, write 1 day / 24 hours = 1 = 24 hours / 1 day. This means that both these are unit factors and are here considered equal to 1. 

Similarly, find the equivalence from hours to seconds. 

Therefore, 

3 days = (3 days × (24 hours / 1 day) × (60 min / 1 hour) × (60 s / 1 min)) seconds 

3 days = (3 × 24 × 60 × 60) seconds

3 days = 259200 seconds

3 days = 2.592 × 10⁵ seconds.

Thus, 3 days have 2.592 × 10⁵ seconds.

Вопрос 7. Считаются ли нули значащими числами?

Отвечать:

Zeroes preceding the first non-zero aren’t significant. These zeroes indicate the position of the given decimal point. Thus, 0.02 has one significant figure and 0.000027 also has just two significant figures. Zeroes between any two non-zero digits are significant. Thus 9.003 has four significant figures. Zeroes at the end or on the right of a number (if they are on the right of the decimal point) are significant.