Площадь поверхности формулы кубоида
В геометрии кубоидом называется трехмерная фигура, имеющая шесть прямоугольных граней. Кубоид также известен как правильный шестигранник и имеет шесть прямоугольных граней, восемь вершин и двенадцать ребер с конгруэнтными противоположными гранями. Это трехмерная форма прямоугольника с четырьмя боковыми гранями и двумя гранями вверху и внизу. Некоторыми примерами прямоугольных параллелепипедов, которые мы регулярно видим, являются кирпичи, геометрические коробки, обувные коробки, упаковочные коробки и т. д. Прямоугольный параллелепипед становится кубом, если все его грани квадратные.
Площадь поверхности кубоида
Площадь поверхности любого трехмерного объекта называется полным пространством, занимаемым всеми его поверхностями. Боковая и общая площади поверхности прямоугольного параллелепипеда - это два типа площадей поверхности прямоугольного параллелепипеда. Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда — это площадь, занимаемая его боковыми гранями, тогда как общая площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда — это площадь, занимаемая всеми его шестью прямоугольными гранями.
Предположим, что «l» — это длина прямоугольного параллелепипеда, «b» — его ширина, а «h» — его высота.
Lateral surface area of a cuboid = 2h(l + b) square units
Total surface area of a cuboid = 2 (lb + bh + lh) square units
Вывод площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
Let us consider, that “l” is the length of the cuboid, “b” is the breadth of the cuboid, and “h” is the height of the cuboid.
We know that in a cuboid, opposite faces are equal, i.e., ABCD = PQRS, APSD = BQRC, and ABQP = DCRS.
Now, the total surface area of the cuboid is equal to the sum of the areas of its six rectangular faces.
The total surface area of the cuboid = Area of [ABCD + APSD + ABQP + PQRS + BQRS + DCRS].
Area of [ABCD +APSD + ABQP + ABCD +APSD + ABQP] = 2 Area of [ABCD +APSD + ABQP]
The area of the rectangle ABCD = l × h
The area of the rectangle APSD = b × h
The area of the rectangle ABQP = l × b
Therefore,
Total surface area of the cuboid = 2 (lb + bh + lh) square units
The lateral surface area of a cuboid is the area occupied by its lateral faces.
Hence, the lateral surface area of the cuboid = The total surface area of the cuboid – The area of the top and bottom faces of the cuboid
= 2 (lb + bh + lh) – Area of [ABPQ + CDRS}
= 2 (lb + bh + lh) – 2 Area of (ABPQ)
= 2 (lb + bh + lh) – 2lb
= 2 (bh + lh) = 2h(l + b)
Hence,
Lateral surface area of a cuboid = 2h(l + b) square units
Определение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Рассмотрим пример определения площади поверхности прямоугольного параллелепипеда по его формуле.
Пример: Вычислите общую площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его длина, ширина и высота равны 8 см, 3 см и 5 см соответственно.
Решение:
Step 1: Note down the dimensions of the given sphere. Here, the length, breadth, and height are 8 cm, 3 cm, and 5 cm.
Step 2: We know that the total surface area of a cuboid = 2 (lb + bh + lh). So, substitute the value of the given dimensions in the equation = 2 [(8 × 3) + (3 × 5) + (8 × 5)] = 158 sq. cm.
Step 3: Hence, the total surface area of a cuboid is 158 sq. cm.
Примеры проблем
Задача 1. Определить площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его длина, ширина и высота равны 15, 8 и 12 дюймов соответственно.
Решение:
Given data,
The length of a cuboid (l) = 15 in
The breadth of a cuboid (b) = 8 in
The height of a cuboid (h) = 12 in
We have,
Lateral surface area of a cuboid = 2h(l + b)
= 2 × 12 (15 + 8)
= 24 × 23 = 552 square inches.
Hence, the lateral surface area of the given cuboid is 552 square inches.
Задача 2: Какова общая площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его длина, ширина и высота равны 18 см, 13 см и 15 см соответственно?
Решение:
Given data,
The length of a cuboid (l) = 18 cm
The breadth of a cuboid (b) = 13 cm
The height of a cuboid (h) = 15 cm
We have,
Total surface area of a cuboid = 2 (lb + bh + lh)
= 2 [(18 × 13) + (13 × 15) + (18 × 15)]
= 2 [234 + 195 + 270]
= 2 [699] = 1398 cm2
Hence, the total surface area of the given cuboid is 1398 cm2.
Задача 3. Вычислите высоту прямоугольного параллелепипеда, площадь боковой поверхности которого равна 360 квадратных единиц, а длина и ширина равны 12 единицам и 8 единицам соответственно.
Решение:
Given data,
The length of a cuboid (l) = 12 units
The breadth of a cuboid (b) = 8 units
The lateral surface area = 360 square units
We have,
Lateral surface area of a cuboid = 2h(l + b)
⇒ 2h (12 + 8) = 360
⇒ h × (20) = 360/2 = 180
⇒ 20h = 180⇒ h = 180/20
⇒ h = 9 units
Hence, the height of the given cuboid is 9 units.
Задача 4. Определите длину и общую площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, площадь боковой поверхности которого равна 960 кв. дюймов, а ширина и высота равны 12 и 16 дюймов соответственно.
Решение:
Given data,
The breadth of a cuboid (b) = 12 in
The height of a cuboid (h) = 16 in
The lateral surface area = 960 square inches
We know that,
Lateral surface area of a cuboid = 2h(l + b)
⇒ 2 × 16 (l + 12) = 960
⇒ 32 (l + 12) = 960
⇒ (l + 12) = 960/32 = 30
⇒ l = 30 – 12 = 18 in
We have,
Total surface area of a cuboid = 2 (lb + bh + lh)
= 2 [(18 × 12) + (12 × 16) + (18 × 16)]
= 2 [ 216 + 192 + 288]
= 2 × [696] = 1398 square inches
Hence, the length and the total surface area of the cuboid are 18 in and 1398 sq. in, respectively.
Задача 5. Вычислить общую площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его длина, ширина и высота равны 10, 5 и 8 дюймов соответственно.
Решение:
Given data,
The length of a cuboid (l) = 10 in
The breadth of a cuboid (b) = 5 in
The height of a cuboid (h) = 8 in
We have,
Total surface area of a cuboid = 2 (lb + bh + lh)
= 2 [(10 × 5) + (5 × 8) + (10 × 8)]
= 2 × [50 + 40 + 80]
= 2 × (170) = 340 sq. in
Hence, the total surface area of the given cuboid is 340 sq. in.
Задача 6. Определить площадь боковой и полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, длина, ширина и высота которого равны 21 см, 16 см и 18 см соответственно.
Решение:
Given data,
The length of a cuboid (l) = 21 cm
The breadth of a cuboid (b) = 16 cm
The height of a cuboid (h) = 18 cm
We have,
Lateral surface area of a cuboid = 2h(l + b)
= 2 × 18 (21 + 16)
= 36 × 37 = 1332 sq. cm
Total surface area of a cuboid = 2 (lb + bh + lh)
= 2 [(21 × 16) + (16 × 18) + (21 × 18)]
= 2 [336 + 288+ 378] = 2 × 1002
= 2004 sq. cm
Therefore, the lateral surface area and the total surface area of a cuboid are 1332 sq. cm and 2004 sq. cm, respectively.