Перепишем уравнение окружности в стандартной форме: x2 + y2 + 6x – 4y – 12 = 0

Слово конический означает нечто, связанное с конусом. Конус представляет собой трехмерную фигуру, теперь изобразите плоскость, любую плоскость, проходящую через конус, кривая пересечения между ними приводит к различным коническим сечениям. Обычно существует 3 основных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола. Почему нет упоминания о круге? Это потому, что круг — это особый тип эллипса с равными коэффициентами x и y. Уравнение описывает все конические сечения: ax ² + 2hxy + by ² + 2gx + 2fy + c = 0, где a, b не могут быть равны 0 одновременно.

Приведенное выше уравнение является общим уравнением конических сечений. Основываясь на значениях a, b и h, уравнение сообщает, какой тип конического сечения оно представляет.

Круг

Окружность определяется как геометрическое место каждой точки, которая находится на равном расстоянии от фиксированной точки на плоскости. В общем уравнении, используемом для представления любого типа конуса, также может быть сформировано уравнение окружности. Если a = b и h = 0,

Тогда получается круг и уравнение примет вид ax ² + ay ² + 2gx + 2fy +c = 0. Это общее уравнение круга. Его также можно переписать следующим образом:

х ² + у ² + 2gx/а + 2fy/а + с/а = 0

Или (x + g/a) ² + (y + f/a) ² = (g/a) ² + (f/a) ² – c/a ⇢ (1)

Центр этой окружности находится в точке (-g/a, -f/a), а радиус окружности равен

Если центр окружности находится в начале координат (0, 0). Уравнение окружности тогда будет x ² + y ² = 1

Запишите уравнение окружности в стандартной форме x ² + y ² + 6x – 4y – 12 = 0

Решение:

In the question, It is asked to write the equation of the circle in standard form. The equation given is x² + y² + 6x – 4y – 12 = 0. From the equation itself, it can be said that this is an equation of a circle since the coefficients of x and y are equal. This equation can be rewritten as follows:

(x + 3)² – 9 + (y – 2)² – 4 – 12 = 0

Or, (x + 3)²  + (y – 2)² = 25 

Or, (x + 3)² + (y – 2)² = 5²

Примеры проблем

Вопрос 1: Запишите уравнение окружности в стандартной форме x ² + y ² – 6x – 8y – 1 = 0

Решение:

Compare this equation with general equation of circle which is ax² + ay² + 2gx + 2fy + c = 0

After comparing, a = 1, g = -3, f = – 4, and c = -1

Now that the values are obtained, one can easily form the standard equation of the circle by plugging the values into equation (1), 

(x – 3/1)² + (y – 4/1)² = (-3/1)² + (-4/1)² + (-1/1)

Or, (x – 3)² + (y – 4)² = 9 + 16 -1

Or, (x – 3)² + (y – 4)² = 24 

Вопрос 2: Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 5 единиц.

Решение:

Center at origin means the coordinate is (0, 0). The standard equation of a circle is (x – a)² + (y – b)² = r^2.   

Where (a, b) is the center of the circle and r being its radius.

Here, in the question center is (0, 0) and the radius is 5 units. therefore the equation of the circle will be,

(x – 0)² +(y – 0)² = 5²

x² + y² = 25

Вопрос 3: Напишите уравнение окружности с центром в точке (5,-3) и радиусом 4 единицы.

Решение:

Center at (5, -3). The standard equation of a circle is (x – a)² + (y – b)² = r².   

Therefore the equation of the circle will be (x – 5)² + (y – (-3))² = 4²

Or, (x – 5)² + (y + 3)² = 16

Вопрос 4: Найдите центр и радиус окружности, которая определяется уравнением x ² + y ² – 2x + 8y – 8 = 0.

Решение:

The above equation can be rewritten as x² – 2x + 1 + y² + 8y + 16 = 8 + 1 +16

Or, (x – 2)² + (y + 4)² = 25

Or, (x – 2)² + (y + 4)² = 5²