Пара линейных уравнений с двумя переменными

Линейные уравнения используются для описания взаимосвязи между двумя переменными. Иногда в некоторых ситуациях мы не знаем значения переменных, которые хотим наблюдать. Итак, затем мы формулируем уравнения, описывающие их поведение, и решаем их. Количество полученных уравнений должно быть равно количеству переменных. Например,

Camus and Bob went to a shop to buy some books. Camus bought three copies of “Metamorphosis” and four copies of “Myth of Sisyphus”. He paid Rs 500 for these books. Then, Bob bought four copies of Metamorphosis and one copy of “Myth of Sisyphus” in Rs 600. How would you find out cost of each book? 

В таких ситуациях, как указано выше, можно составить два линейных уравнения и решить их. Существует несколько способов решения таких пар уравнений.

Пара линейных уравнений с двумя переменными

Линейное уравнение определяется как

топор + by + c = 0

Где a, b и c — действительные числа, а a и b оба не равны нулю.

Пара образована двумя такими линейными уравнениями. Его можно представить как,

а ₁ х + б ₁ у + с ₁ = 0

а ₂ х + б ₂ у + с ₂ = 0

a ₁ , b ₁ , c ₁ , a ₂ , b ₂ и c ₃ — действительные числа.

Поскольку линейное уравнение представляет собой линию на декартовой плоскости. Пара представляет собой две линии на декартовой плоскости. Решением этой системы будут точки, удовлетворяющие обоим этим уравнениям. В такой системе есть три возможности:

1. Нет решения
2. Уникальное решение
3. Бесконечно много решений

Кратко рассмотрим различные методы решения этих уравнений.

Графические методы решения

В этом методе мы изображаем уравнения на графике и через него узнаем их пересечение. Мы ищем точки, которые являются общими для обеих прямых, иногда есть только такая точка, но может также случиться так, что решений нет или есть бесконечные решения.

Вопрос: Найдите пересечение следующих прямых.

3х + 5у = 6

х + у = 2

Решение:

We will plot both the lines on the graph. 

These lines intersect at (2,0). 

Если мы сравним коэффициенты a1, a2, b1, b2, c1 и c2 с разными парами уравнений, которые имеют единственное решение, бесконечные решения и не имеют решений. Получим результаты, приведенные ниже в таблице.

Для двух строк,

а ₁ х + б ₁ у + с ₁ = 0

а ₂ х + б ₂ у + с ₂ = 0

Графическое представление	Алгебраическая интерпретация	Условия
Один перекресток	Уникальное решение
Совпадающие линии	Бесконечно много решений
Без пересечения/параллельных линий	Нет решения

Алгебраические методы решения пары линейных уравнений

Метод замены

В этом методе мы используем одно уравнение для выражения переменной через другую переменную, тем самым уменьшая количество переменных в уравнении. Затем мы подставляем это выражение в другое уравнение, которое нам дано.

Вопрос: Решите следующую пару уравнений методом подстановки.

х + у = 3

3х + у = 16

Решение:

Let’s pick the equation 

x + y = 3 

x = 3 – y 

Substituting the value of x in the other equation,

3x + y = 16 

3(3 – y) + y = 16 

9 – 3y + y = 16 

-2y =7 

y = -7/2 

Метод исключения

Этот метод иногда более удобен, чем метод подстановки. В этом методе мы исключаем одну переменную, умножая и добавляя уравнения с подходящими константами, это делается для исключения одной переменной, и когда уравнение остается только с одной переменной, его можно легко решить.

Вопрос: Решите следующие уравнения методом исключения.

х + у = 3

х - у = 5

Решение:

We have two equations, 

x + y = 3  …….(1)

x – y = 5 …… (2)

Adding the equation (1) and (2) to eliminate the variable -y. 

2x = 8 

x = 4 

Substituting the value of x in equation (1) 

4 + y = 3 

y = -1

Метод перекрестного умножения

Этот метод выглядит более сложным, чем другие методы, но это один из самых эффективных способов решения линейных уравнений. Скажем, две линии, уравнение которых,

а ₁ х + б ₁ у + с ₁ = 0

а ₂ х + б ₂ у + с ₂ = 0

В этом методе перекрестного умножения

Решение дается,

Вопрос 1: Решите следующие уравнения методом исключения.

2х + 3у = 46

3х + 5у = 74

Решение:

a₁ = 2, a₂ = 3, b₁ = 3, b₂ = 5, c₁ = 46 and c₂ = 74

x = 8 and y = 10

Вопрос 2: Решите графически следующую пару уравнений:

2х + 3у = 46

3х + 5у = 74

Решение:

We need to plot them of graph separately and then look at their intersection. 

This graph intersects are (10,8)

Вопрос 3: Решите следующую пару линейных уравнений методом подстановки.

5х + 4у = 20

х + 2у = 4

Решение:

We have to solve these two equations 

5x + 4y = 20 

x + 2y = 4

Let’s we pick the second equation, 

x = 4 – 2y

Now substituting the value of x in the other equation. 

5(4 – 2y) + 4y = 20 

20 – 10y + 4y = 20 

-6y = 0 

y = 0 

Finding out the value of x by substituting the value of y in the equation, 

x = 4 – 2y 

x = 4 

(4, 0) is the solution to this pair of linear equations. 

Вопрос 4: Решите следующие уравнения методом исключения.

4х + 5у = 20

8х + 2у = 5

Решение:

Let the equations be, 

4x + 5y = 20 ……..(1)

8x + 2y = 5 ….. (2)

We need to eliminate one of the variables here from these two equations, 

Multiply equation (1) with 2 and subtract it with (2). 

2 x(1) -(2) 

8x + 10y = 40 ….. 2 x(1)

8x + 2y = 5 …..(2) 

Subtracting both of these, 

8y = 35 

y = 

Substituting this value in equation (1)