Отношения и функции

Функцию в очень абстрактных терминах можно рассматривать как нечто, что принимает входные данные и производит выходные данные. От функции зависит, какие входные данные она примет и какой выдаст на выходе. Но, если представить, его можно представить как машину или коробку, которая выдает результат при определенном значении ввода.

Так где же его искать в повседневной жизни?

Его можно увидеть где угодно, например, Weatherman снимает показания термометра. Термометр обычно дает показания в градусах Цельсия или Фаренгейта. Затем метеоролог преобразует его, используя некоторую формулу. Эту формулу можно рассматривать как что-то, что находится в поле «Функциональная машина», показанном на рисунке выше. Он принимает входную температуру в градусах Цельсия и преобразует ее в градусы Фаренгейта. Теперь, может ли одно показание градуса Цельсия дать нам два разных выхода температуры в градусах Фаренгейта? Нет. Вот почему на функциональную машину наложено правило, согласно которому она не может давать два выхода при получении одного входа.

Давайте посмотрим на это формально и математически.

Функции и связь

Декартово произведение множеств

Предположим, что A и B — два непустых множества, множество всех упорядоченных пар (x, y), где x∈A и y∈B, называется декартовым произведением множеств.

А × В = {х, у | x∈A и y∈B}

Вопрос: Найдите декартовы произведения множества A = {1,2,3} и B={3,4,5}.

Отвечать:

Following the above definition, let Cartesian product be X, 

X = A x B 

   = {(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,3), (3,4), (3,5)}

Note: Let |A| and |B| be the number of elements in set A and set B respectively. Let the number of elements in Cartesian product of the two sets be |X|. Then, 

|X| = |A| x |B|

Связь

Отношение множества A к множеству B является подмножеством множества декартовых произведений A x B. Подмножество состоит из описания отношения между первым элементом и вторым элементом элементов в A x B.

Пример: R = {(1,2), (2, -3), (3,5)}

Здесь, в приведенном выше примере, набор всех первых элементов, т.е. {1,2,5}, называется доменом, а набор всех вторых элементов, т.е. {2,-3,5}, называется диапазоном отношения.

Типы отношений

Существует 8 основных типов отношений, которые включают в себя:

1. Пустое отношение — между любыми элементами множества нет отношения.
2. Универсальное отношение — каждый элемент множества связан друг с другом.
3. Отношение тождества. В отношении тождества каждый элемент множества связан только с самим собой.
4. Обратное отношение . Обратное отношение наблюдается, когда в наборе есть элементы, которые являются обратными парами другого набора.
5. Рефлексивное отношение . В рефлексивном отношении каждый элемент отображается сам на себя.
6. Симметричное отношение . В асимметричном отношении, если a=b верно, то b=a также верно.
7. Транзитивное отношение. Для транзитивного отношения, если (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R, то (x, z) ∈ R.
8. Отношение эквивалентности — отношение, которое является симметричным, транзитивным и рефлексивным одновременно.

Функция

Функция – это особый вид отношения. Это отношение, в котором каждое значение домена отображается только в одно значение диапазона. Обозначается ƒ: X⇒ Y

Это означает, что это функция от X до Y. Она принимает входные данные из множества X и выдает уникальное значение из множества Y в качестве вывода. «X» называется доменом функции, а «Y» называется со-доменом.

Как описано ранее во введении, его можно рассматривать как блок/машину, работающую по некоторой формуле или правилу. Он принимает входные данные и выдает результат.

Вопрос: ƒ(x) = x ² . Это функция?

Отвечать:

Here, the function takes a number as input. So its domain is all real numbers and in the output it gives the square of that number as output. So the co-domain will be all the positive numbers. 

Now, coming to the question whether this mathematical expression is function or not. 

According to the definition for each value of X, it should give a unique output but vice versa is not true. That is for different values of x it can give same value as output and will still be considered as function. 

For example: here, x = -2 and 2 both give the same output 4. 

Since the condition is not violated, it will be considered as a function. 

Некоторые другие примеры функций:

1. х ³ + 1
2. грех (х), потому что (х)

Типы функций:

• Функция тождества: функция, определяемая выражением y = f (x) = x для каждого x ∈ R.
• Постоянная функция: функция, определяемая формулой y = f(x) = C, x ∈ R.
• Полиномиальная функция: f(x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + ….. + a ₀
• Рациональная функция: это функция вида p(x)/q(x).

Что делает отношение функцией?

Отношение, в котором элемент отображается только в значение диапазона, называется функцией. Чтобы определить, является ли отношение функцией, нам просто нужно убедиться, что ни один элемент не имеет двух соответствующих значений диапазона.

Вопрос 1: В таблице ниже указано отношение, выясните, является ли это отношение функцией или нет.

Отвечать:

In this table, when x = 2, we have two corresponding values of Y. This violates the one input-one output property function. So this is not a function. 

Вопрос 2: В таблице ниже указано отношение, выясните, является ли это отношение функцией или нет.

Отвечать:

In the above relation, each input has only one corresponding range value. So, this relation is a function.  

Графики функций

Все функции можно изобразить на графике с входными значениями по оси x и их выходными данными по оси y. Например:

Допустим, f(x) = x, где x может быть любым действительным числом. График этой функции будет похож на график y = x.

Как узнать функцию по ее графику?

Из условия, которое было описано выше, следует, что не может быть двух значений функции при одном значении x.

Итак, давайте посмотрим на некоторые примеры функций и не функций.

Это график f(x) = √4x

На приведенном выше графике пунктирная вертикальная линия представляет одно значение x и два значения y. Это означает два значения, когда задано одно значение x. Это нарушает одно из свойств указанной выше функции. Значит, это не функция.

Возьмем другой пример,

На этом графике выше нет значения «x», которое дает два разных результата. Вертикальная пунктирная линия не может пересекать график в двух местах. Хотя горизонтальная пунктирная линия пересекает график в двух местах, это указывает на то, что два входа отображаются на один и тот же результат.

Разница между уравнениями и функциями

Функция — это выражение, формула. Уравнение – это равенство между двумя выражениями.

Итак, 8y + 1 — это выражение, которое можно было бы назвать f(y). F(y) = 8y +1 — это уравнение, которое определяет функцию.

x ² + y ² = 4 — уравнение, не определяющее единственную функцию. Его график представляет собой окружность, которая не является функцией. График уравнений представляет все те точки, в которых выполняется равенство, в то время как график функции представляет значения, выдаваемые функцией при задании различных входных значений.

Образцы примеров

Вопрос 1: Выясните диапазон функции: ƒ(x) =

Решение:

Since the value inside the root cannot be negative, x² should be less than 16. 

That means x ∈ [-4,4]. This is domain of the function. 

For the range, let y= then y² = 16 – x²

or x²= 16 – y²

Since x ∈ [– 4, 4]

Thus range of f = [0, 4]

Вопрос 2: Постройте график функции f(x) = |x|.

Решение:

It can be noticed that in this, there are multiple inputs mapping to same value of the function. For example:- x = -2 and x = 2 both give f(x) = 2.