Откуда взялась квадратная формула?

Алгебра — это раздел математических исследований, изучающий отношения между константами и переменными. Константы обозначают известные определенные значения, тогда как переменные обозначают неизвестные значения. В алгебре основные операции, такие как суммирование, вычитание, умножение и деление, используются для получения решения для этих неизвестных значений.

Данная статья также посвящена изучению решения алгебраических выражений с помощью квадратичной формулы. Данная статья состоит из описания квадратной формулы, ее истории, метода вывода, а также некоторых примеров задач с их решениями для лучшего понимания.

Откуда берется квадратная формула?

Квадратные уравнения — это алгебраические выражения второй степени, записанные в стандартной форме ax ² +bx+c=0 , где a,b и c — известные постоянные значения, a не равно нулю, а x — переменная, которую представляет неизвестное значение в уравнении.

Стандартная квадратичная формула задается как

x = -b±√(b²-4ac)/2a

where, a,b and c are the constants.

x is the variable 

and, a≠0

Различные условия для дискриминанта (b ² -4ac)

• Условие 1. Когда дискриминант (b ² -4ac) положителен.

=> Будет два решения или значения, полученные для переменной.

• Условие 2. Когда дискриминант (b ² -4ac) равен нулю.

=> Будет только одно решение.

• Условие 3. Когда дискриминант (b ² -4ac) отрицательный.

=> В качестве решений будет пара комплексных чисел.

История квадратного уравнения

• Initially, quadratic equations were solved by geometric methods.
• The Egyptian Berlin Papyrus(2050-1650BC) contains the solution to a two-term quadratic equation.
• The Greek mathematician Diophantus solved quadratic equations with an algebraic method which was more recognizable than the geometric method.
• The Indian mathematician Brahmagupta has described the quadratic formula in his treatises written in words instead of symbols.

Вывод формулы квадратного квадратного корня

Рассмотрим квадратное уравнение второй степени: ax ² +bx+c=0.

где а≠0

Теперь, чтобы найти корни этого уравнения

=>ax²+bx=-c

Dividing both sides by ‘a’

=>x²+bx/a=-c/a

Adding a new term (b/2a)² on both sides

=>x²+ bx/a+ (b/2a)²=-c/a +(b/2a)²

As the left hand side is now a perfect square.

=>(x+b/2a)²=-c/a + b²/4a²

=>(x+b/2a)²= (b²-4ac)/4a²

Now, we can take square roots to obtain

=> x+b/2a=±√(b²-4ac)/2a

=>x=-b±√(b²-4ac)/2a

Thus, by computing the squares we will obtain two roots of the equation.

Примеры вопросов

Вопрос 1. Решите уравнение 3x ² +5x-7=0, используя квадратную формулу.

Решение:

The given equation is 3x²+5x-7=0

a = 3

b = 5

c = -7

Now,

=>x = -b±√(b²-4ac)/2a

=>x = -b±√(5)²-4(3)(-7)/2(3)

=>x = -5±√25+84/6

=>x = -5±√109/6

Then,

x = -5+√109/6 = 0.907

x = -5-√109/6 = -2.573

Вопрос 2. Решить уравнение х ² +3х+2=0.

Решение:

The given equation is  x²+3x+2=0

a=1

b=3

c=-2

Now,

=>x=-b±√(b²-4ac)/2a

=>x=-3±√(3)²-4(1)(-2)/2(1)

=>x=-3±√9-8/2

=>x=-3±1/2

Then,

=>x=-3+1/2=-1

=>x=-3-1/2=-2

Вопрос 3. Решить уравнение х ² +6х+8.

Решение:

The given equation  x²+6x+8

a=1

b=6

c=8

Now,

=>x=-b±√(b²-4ac)/2a

=>x=-6±√(6)²-4(1)(8)/2(1)

=>x=-6±√36-32/2

=>x=-6±2/2

Then,

=>x=-6+2/2=-2

=>x=-6-2/2=-4