Основная теорема арифметики

Арифметика — это игра чисел, и каждое число делится на ту или иную группу, например: существуют составные числа, четные числа, нечетные числа, простые числа. Простые числа — это одни из тех, которые могут быть частью каждого числа. Если число разбить на более мелкие числа, наименьшие существующие числа, являющиеся частью этого числа, — не что иное, как простые числа.

Простые числа

Prime numbers are the numbers that have only and only 2 factors. They are 1 and the number itself. For example: 2,3,5,7,11,13 and so on.

Все натуральные числа можно записать в виде произведения своих простых множителей. Например: 24 = 2 × 3 × 2 × 2 или 13 = 13 × 1 и так далее. Можем ли мы сказать, что верно и обратное? Можно ли получить любое натуральное число путем умножения простых чисел? На этот вопрос отвечает Фундаментальная теорема арифметики , также известная как Уникальная теорема о простой факторизации. Основное значение Фундаментальной теоремы арифметики состоит в том, что она говорит об уникальности простой факторизации.

Основная теорема арифметики

Возьмем какой-нибудь набор простых чисел, например — {3, 2, 7}. Как вы думаете, сколько чисел мы можем получить из их умножения? 3 × 2 = 6, 3 × 3 × 2 = 18, 7 × 2 = 14 и так далее. Итак, мы можем сказать, что из этих простых чисел можно составить бесконечно много чисел. Но доказывает ли это, что мы можем генерировать все возможные числа?

Да, существует бесконечно много возможных простых чисел, и из их умножения мы можем генерировать бесконечные числа, и в этом суть Фундаментальной теоремы арифметики. Для дальнейшего развития этой концепции давайте рассмотрим факторизацию числа.

Предположим, нам дано число x = 36.

На рисунке выше представлено дерево факторизации числа. 36 = 2 × 2 × 3 × 3. Это произведение простых чисел. Если мы продолжим пробовать разные числа, то увидим, что все числа можно представить в виде произведений простых чисел. Более формальным образом,

Теорема:

Every composite number can be expressed (factorized) as a product of primes, and this factorization is unique, apart from the order in which the prime factors occur.

This is called Fundamental Theorem of Arithmetic.

Эта теорема утверждает, что каждое составное число можно переписать как произведение простых чисел «единственным» образом, за исключением порядка, в котором встречаются простые числа.

Вопрос 1: Факторизируйте число «4072» и представьте его в виде дерева.

Отвечать:

Вопрос 2: Факторизируйте число «324» и представьте его в виде дерева.

Отвечать:

Вопрос 3: Факторизируйте число «16048» и представьте его в виде дерева.

Отвечать:

LCM и HCF с использованием основной теоремы арифметики

• HCF, известный как самый высокий общий делитель, представляет собой наибольшее число, которое делит каждое из двух заданных чисел.
• LCM — это наименьшее общее кратное, которое является произведением всех общих простых множителей, но с их наивысшими степенями/степенями.

Например:

Вопрос 1 : Найдите LCM и HCF 24 и 36?

Решение :

The Prime factors of 24 = 2× 2×2×3

The prime factors of 36 = 2×2×3×3

HCF = 2×2×2×3, 2×2×3×3 = 2×2×3 = 12

LCM = 

2×2×2×3×3 = 72

LCM и HCF также можно найти с помощью простой факторизации, давайте рассмотрим несколько примеров.

Вопрос 2: Найдите LCM и HCF чисел 6 и 20.

Отвечать:

Prime Factorization of 6 can be represented in the following way, 

Prime Factorization of 20 can be represented in the following way, 

So, now we have prime factorization of both the numbers, 

6 = 2 × 3

20 = 2 × 2 × 5 

We know that 

HCF = Product of the smallest power of each common prime factor in the numbers.

LCM = Product of the greatest power of each prime factor, involved in the numbers.

So, HCF(6,20) = 2¹

      LCM(6,20) = 2² × 3¹ × 5

Вопрос 3: Найдите LCM и HCF чисел 24 и 36.

Отвечать:

Prime Factorization of 24: 

Prime Factorization of 36: 

24 = 2^{3 ×} 3 and 36 = 2² × 3²

Based on the previous definitions,  

HCF(24, 36) = 12 

LCM(24, 36) = 72

Fact: In the above examples, notice that for any two numbers “a” and “b”. HCF × LCM = a × b. 

Вопрос 4: Предположим, что для двух чисел «а» и «б». Дано HCF, равное 120, а произведение двух чисел равно 3600. Найдите LCM двух чисел.

Отвечать:

Given two numbers “a” and “b”.

LCM(a, b) is unknown while HCF(a, b) = 120 and a × b = 3600. 

From the property studied above,  

HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b 

Plugging in the given values. 

120 × LCM(a, b) = 3600 

LCM(a, b) = 30