Определенный интеграл

Обычно интегралы до сих пор оцениваются как функция или алгебраическое выражение в терминах переменной. Определенные интегралы оцениваются с точностью до константы, они дают нам уникальное значение. Интуитивно определенные интегралы представляют площадь под кривой от одного положения до другого положения. Эти позиции объявляются перед вычислением интеграла как пределы интегралов.

Теперь определим определенный интеграл формально,

Определенный интеграл

Определенный интеграл обозначается . Здесь «а» и «b» — пределы интеграла. «а» называется верхним пределом интеграла, а «b» — нижним пределом.

Определенный интеграл можно ввести либо как предел суммы, либо, если он имеет первообразную на интервале [a, b], то его значение есть разность значений F на концах, т. е. F(b) – Ф(а).

Вычисление определенных интегралов

Нахождение площади, ограниченной графиком любой функции в указанных пределах (скажем, [a, b]) на графике, называется вычислением определенного интеграла. В определенных интегралах предел идет от a до b.

It is equal to the area in figure above x-axis and below y-axis.

Вопрос 1: Проинтегрируйте определенный интеграл,

Решение:

Integrating, 

Вопрос 2: Оцените,

Решение:

Определенный интеграл как предел суммы

Предположим, что функция ƒ непрерывна и положительна на отрезке [a, b]. Значит, его график находится над осью абсцисс.

The definite integral  is the area bounded by the curve y = f(x), the ordinates x = a and x = b and x-axis. 

Чтобы оценить эту область, рассмотрим регион PQRSTP на рисунке ниже:

Пусть P будет x = a, а T будет x = b. Разделите интервал [a, b] на _n равных подинтервалов, обозначенных как [x0, _x1 ], [x1, x2], [ _x2 , _x3 ]….[ _{xr -1 , xr} ]…. .[x _n-1 , x _n ], где x ₀ = a, x ₁ = a + h, x ₂ = a + 2h …. и _xn = a + nh или n = . Так как n ⇢ ∞, h ⇢ 0.

Рассматриваемая область PRSQP представляет собой сумму n подобластей, где каждая подобласть определена на подинтервалах [x _{r – 1} , x _r ], r = 1, 2, 3, …, n.

На приведенном выше рисунке видно, что

Площадь прямоугольника (ABLC) < площади области (ABDCA) < площади прямоугольника (ABDM)

При x _r – x _r–1 → 0, т. е. h → 0, все три площади, показанные на рисунке, становятся практически равными друг другу. Теперь составим следующие суммы,

s _n и S _n обозначают сумму площадей всех нижних прямоугольников и верхних прямоугольников, поднятых на подинтервалы [x _r-1 , x _r ] для r = 1, 2, 3,…. соответственно.

При n → ∞ полосы становятся все уже и уже, поэтому предельные значения (2) и (3) в обоих случаях одинаковы, а общим предельным значением является искомая площадь под кривой.

Так,

Теперь это уравнение также можно переписать как

where, 

This expression is knows as definition of definite integral as limit of sum. 

Вопрос 1: Найдите как предел суммы.

Решение:

By the definition given above, 

 where 

Here, a = 0 and b =2, f(x) = x² + 1, h = 

Вопрос 2: Интеграция

Решение:

Applying G.P, a=1. r=e^2/n, we will get,

Using,

Вопрос 3: Оценить

Решение:

a=-1, b=2, f(x)=5^x

h=(b-a)/n=3/n, nh=3

By definition: 

Свойства определенного интеграла

Свойство 1: Это свойство утверждает, что пределы взаимозаменяемы для определенных интегралов с дополнительным отрицательным знаком.

Свойство 2: Это свойство имеет пределы от а до самого а, поэтому фигура есть не что иное, как точка, и площади точки нет, поэтому интегрирование с такими пределами всегда равно нулю.

Свойство 3: Это свойство действительно, поскольку C является константой, которую можно легко исключить из интегрирования, поскольку она не включена в заданную функцию.

Свойство 4: Это свойство указывает, что значение интегрирования останется прежним после разделения функции, связанной с суммой или разностью.

Свойство 5: Это свойство помогает нам решить интеграл в смежных частях. Так как ясно, что в RHS добавляется еще один предел c, где c лежит только между a и b.

Свойство 6: Это свойство указывает, что переменная, используемая для интеграции функции, не имеет значения, если пределы и значение функции одинаковы.

Свойство 7:

Здесь C — любая константа.

Свойство 8: Это свойство говорит о том, что если значение функции больше нуля, то ее интегрирование также будет больше нуля.

If f(x) ≥ 0 for a≤x≤b then  ≥ 0.

Свойство 9: Если значение функции больше, чем значение другой функции, то интеграция этой функции также будет больше, чем интеграция другой функции.

If f(x) ≥ g(x) for a≤x≤b then  

Свойство 10: Если p ≤ f(x) ≤ P для a≤x≤b, то p[ab]≤ ≤ Р[аб]

Свойство 11:

Основные теоремы исчисления

Мы определили определенный интеграл как площадь, ограниченную функцией f(x) от x = a до x = b. Поэтому определенный интеграл также называют функцией площади. Мы обозначаем эту функцию площади через A (x), она определяется как

На основе этого определения сформулируем две основные теоремы.

Первые фундаментальные теоремы исчисления:

Пусть f — непрерывная функция на отрезке [a, b], а A (x) — функция площади. Тогда A′(x) = f (x) для всех x ∈ [a, b].

Вторая фундаментальная теорема исчисления:

Пусть f — непрерывная функция, определенная на отрезке [a, b], и F — антипроизводная от f. затем

Note: This theorem is really useful as it gives us means of calculating a definite integral without actually calculating it a limit of a sum 

Шаги для расчета:

• Найдите неопределенный интеграл . Назовем это F(x). Нет необходимости держать постоянное «C», оно все равно в конце отменится.
• Просто найдите F(b) – F(a) = [F(x)] ^b _a, которое является значением этого определенного интеграла.

Давайте рассмотрим пример этой теоремы.

Вопрос 1: Вычислите интеграл:

Решение:

It can be solved using the second fundamental theorem of the calculus. 

For finding the definite integral, let’s plug in the values. Let the value of definite integral be S. and a= 2 and b = 3. 

Вопрос 2: Найдите интеграл:

Решение:

Solving, 

Вопрос 3: Оценить

Решение:

2log2-2+1=(2log2-1)