Объединение и пересечение множеств
Наборы — это четко определенный набор данных/объектов. Данные/объекты принадлежат к одной и той же группе, но все данные отличаются друг от друга. Например, если слово «приложение» должно быть помещено в множество, оно будет выглядеть примерно так: множество A = {a, p, l, i, c, t, o, n}, буквы, которые повторяются в слова, такие как «p», «a», «i», пишутся только один раз, так как они представляют собой повторяющиеся одни и те же элементы.
Типы наборов
Существуют различные виды наборов в зависимости от того, какой тип элемента и сколько элементов присутствует в наборе, может быть 5 элементов, или 1 элемент, или конечное, но слишком много элементов, или вообще ни одного элемента в наборе. Давайте посмотрим на виды,
- Сингулярное множество ⇢ Множество, состоящее только из одного элемента. Например, A= {1}, B= {e}, C= {a: a∈N, 5<a>7}.
- Нулевой набор ⇢ Нулевые наборы — это наборы, в которых нет ни одного элемента. Нулевые наборы также известны как пустой набор или пустой набор. Нулевые наборы существуют для объяснения определенных параметров, например, если в вопросе предлагается поместить в набор числа, которые больше 8 и меньше 6, существуют ли какие-либо числа? Нет. Поэтому в таком случае используется Null set ⇢ {}/ ∅. Нулевой набор также важен, поскольку он является частью каждого набора, подмножеством каждого набора.
- Конечное множество ⇢ Конечные множества имеют конечное число элементов, количество элементов не играет важной роли, пока в множестве присутствует конечное число элементов, множество будет называться
- конечное множество. Например, A = {a, e, i, o, u}, B = {1, 3, 5, 7, 9….95, 97, 99}.
- Бесконечный набор ⇢ Бесконечные наборы - это те, в которых присутствует бесконечное количество элементов, в наборе может быть бесконечное количество элементов. Например, если кто-то спрашивает о натуральных числах и требуется составить их набор, то натуральные числа начинаются с 1, но потом они бесконечны, доходят до бесконечности, следовательно, элементы множества всех -натуральные числа будут бесконечности. Бесконечные множества обозначаются точками в конце последнего записанного элемента, чтобы показать, что он доходит до бесконечности. Например, A= {2, 4, 6, 8, 10, 12….}
Установить операции
В теории множеств очень часто встречаются два или более двух множеств, демонстрирующих тот или иной тип отношения. Наборы могут иметь общие данные, что, скорее всего, произойдет, иногда наборы не имеют общих данных, они известны как взаимно независимые наборы. Давайте рассмотрим некоторые операции, основанные на отношениях между множествами.
Союз множества
Объединение набора определяется как множество, содержащее все элементы, присутствующие в наборе A ИЛИ наборе B. Слово «ИЛИ» используется для обозначения объединения набора, что означает, что если данные существуют либо в A, либо в B, они будут входить в состав Союза множество. Символ, используемый для обозначения объединения множества, — «∪». Стандартное определение можно записать так: если x ∈ A ∪ B, то x ∈ A или x ∈ B. Диаграмма Венна для A ∪ B такова:
Характеристики:
- A∪ B= B ∪ A [Commutative property]
- (A ∪ B) ∪ C= A ∪ (B ∪ C) [Associative property]
- A ∪ ∅= A
- A ∪ U= U
Хорошим практическим примером объединения двух множеств могут быть два друга, приглашающие на вечеринку других своих друзей, теперь высока вероятность того, что между ними есть общие друзья, теперь нет смысла приглашать их дважды, следовательно, друзья, которые являются общими, приглашаются только один раз, а остальные друзья также приглашаются, так будет выглядеть союз группы друзей.
Пересечение множества
Пересечение множества определяется как множество, содержащее все элементы, присутствующие в множестве A и множестве B. Слово «И» используется для представления пересечения множеств, это означает, что элементы в пересечении присутствуют как в множестве A, так и в множестве B. B. Символ, используемый для обозначения пересечения множества, — «∩». Стандартное определение можно записать так: если x ∈ A ∩ B, то x ∈ A и x ∈ B. Диаграмма Венна для A ∩ B такова:
Характеристики
- A∩ B= B∩ A [Commutative property]
- (A∩ B) ∩ C= A∩ (B ∩ C) [Associative property]
- A∩ U= A
- A∩ ∅= ∅
Хорошим практическим примером пересечения двух наборов может быть такой: представьте, двое друзей устраивают вечеринку, и они решили пригласить только тех друзей, которые являются их общими друзьями. Они записали имена своих друзей, а потом увидели общих друзей и пригласили только тех, это можно назвать Пересечением множества друзей.
Дополнение набора
Дополнение множества включает в себя все данные, кроме данных множества. Данные, присутствующие в Универсальном наборе, за исключением данных самого набора, являются Дополнением набора. Дополнением дополнения множества является само множество. Обозначается как A' или A c .
А' или А с = U- А
Характеристики:
- A ∪ A’= U
- A ∩ A’= ∅
Из закона Моргана
Закон де Моргана включает в себя все три операции: объединение, пересечение и дополнение множества. Предположим, что n наборов задано как A1, A2, A3... Полное дополнение объединения всех этих множеств равно пересечению дополнений каждого из них.
(A1 ∪ A2 ∪ A3 .... ∪ An)' = A1' ∩ A2' ∩ A3'…. И
Для двух множеств А и В
(А ∪ В)'= А' ∩ В'
Примеры проблем
Вопрос 1: Найдите объединение и пересечение множеств,
А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
В = {5, 6, 7, 8, 9}
Решение:
Union of the sets
A∪ B= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Intersection of the set A and B
A∩ B= {5, 6}
Вопрос 2: Найдите пересечение и объединение множеств, приведенных ниже,
Р = {а, е, я, о, и}
Q = {p, q, r, s, t}
R = {j, k, l, m, n}
Решение:
Union of the sets
P∪ Q∪ R= {a, e, i, o, u, p, q, r, s, t, j, k, l, m, n}
Intersection of the sets
P∩ Q∩ R= ∅
The intersection of the sets P, Q, and R is a Null set since no element is common among the three sets.
Вопрос 3: Найдите Дополнение, Объединение и пересечение заданных множеств,
Универсальный набор, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
Х= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
Y= {3, 6, 9, 12, 15}
Решение:
Complement of set X,
X’= U- X= {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
Complement of set Y,
Y’= U- Y= {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14}
Union of sets,
X∪ Y= {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15}
Intersection of sets,
X ∩ Y= {6, 12}
Вопрос 4: Докажите свойство ассоциативности для объединения множеств, множества A, B и C приведены ниже,
А = {а, б, в, г, е}
В = {д, е, е, г, ч}
С = {г, ч, я, j, к}
Решение:
Associative property for the union of sets,
(A∪ B) ∪ C = A∪ (B∪ C)
For LHS, A∪ B= {a, b, c, d, e, f, g, h}
(A∪ B) ∪ C= {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}
For RHS, B∪ C= {d, e, f, g, h, i, j, k}
A∪ (B∪ C)= {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}
Hence, LHS= RHS
Вопрос 5: Докажите закон Де Моргана для множеств A и B, приведенных ниже, когда универсальное множество задано как
U= {10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 25, 26, 28, 30, 32, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 46, 48 , 50}
А= {10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}
Б= {10, 20, 30, 40, 50}
Решение:
De Morgan’s law is given as,
(A∪ B)’= A’∩ B’
LHS ⇢ A∪ B= {10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}
(A ∪ B)’= {12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, 32, 34, 36, 38, 42, 44, 46, 48}
RHS ⇢ A’= {12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, 32, 34, 36, 38, 42, 44, 46, 48}
B’= {12, 14, 15, 16, 18, 22, 24, 25, 26, 28, 32, 34, 35, 36, 38, 42, 44, 45, 46, 48}
A’∩ B’= {12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, 32, 34, 36, 38, 42, 44, 46, 48}
Hence, LHS= RHS
Вопрос 6: Докажите ассоциативность пересечения множеств для данных множеств,
А = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
В = {3, 6, 9, 12, 15, 18}
С = {2, 3, 6, 10, 12, 15, 18}
Решение:
The associative property for the intersection of the sets A and B is given as,
(A∩ B) ∩ C= A∩ (B∩ C)
LHS⇢ A∩ B= {6, 12, 18}
(A∩ B) ∩ C= {6, 12, 18}
RHS⇢ B∩ C= {3, 6, 12, 15, 18}
A∩ (B ∩ C)= {6, 12, 18}
Hence, LHS= RHS