Нули многочлена

Полиномы используются для моделирования некоторых физических явлений, происходящих в реальной жизни, они очень полезны для математического описания ситуаций. Они используются почти во всех областях науки, даже за пределами науки, например, в экономике и других смежных областях. Нули или корни этих многочленов являются очень важным аспектом их природы и могут быть очень полезными при их описании или отображении на графике. Давайте подробно рассмотрим их определение и способы выяснения корней.

Нули/корни многочлена

Мы говорим, что x = a является корнем многочлена, если P(x) = 0 в этой точке. Процесс нахождения нуля — это, по сути, процесс нахождения решений любого полиномиального уравнения. Давайте рассмотрим несколько примеров, касающихся поиска нулей для многочлена второй степени.

Вопрос 1: Найдите нули для P(x) = x ² + 2x – 15.

Отвечать:

x² + 2x – 15 = 0 

⇒ x² + 5x – 3x – 15 = 0

⇒ x(x + 5) –  3(x + 5) = 0 

⇒ (x – 3) (x + 5) = 0 

⇒ x = 3, -5

Вопрос 2: Найдите оставшиеся нули для P(x) = x ² – 16x + 64.

Отвечать:

x² – 16x + 64 = 0

⇒ x² – 8x – 8x + 64 = 0

⇒ x(x – 8) – 8(x – 8) = 0

⇒ (x – 8) (x – 8) = 0 

⇒ (x – 8)² = 0 

x = 8, 8

This is called a double root. 

Предположим, у нас есть многочлен P (x) = 0, который разлагается на:

P(x) = (x – r) ^k (x – a) ^m

Если r является нулем многочлена, а показатель степени его члена, давшего корень, равен k, то мы говорим, что r имеет кратность k . Нули с кратностью 1 часто называют простыми нулями.

Вопрос 3: P(x) — многочлен степени 5, который был факторизован для вас. Назовите корни и их кратность.

P(x) = 5x ⁵ −20x ⁴ +5x ³ +50x ² −20x−40=5(x+1) ² (x−2) ³

Отвечать:

Given, P(x) = 5(x+1)²(x−2)³ 

Putting this polynomial equal to zero we get the root, 

x = -1, -1, 2, 2, 2

Notice that -1 occurs two times as a root. So its multiplicity is 2 while the multiplicity of the root “2” is 3. 

Основная теорема линейной алгебры

If P(x) is a polynomial of degree “n” then P(x) will have exactly n zeros, some of which may repeat. 

Это означает, что если мы перечислим все нули и перечислим каждый из них k раз, где k — его кратность. В списке будет ровно n чисел. Это может быть полезно, поскольку может дать нам представление о том, сколько нулей должно быть в многочлене. Таким образом, мы можем перестать искать нули, когда достигнем необходимого количества нулей.

Фактор Теорема

For the polynomial P(x),

1. If r is a zero of P(x) then x−r will be a factor of P(x).
2. If x−r is a factor of P(x) then r will be a zero of P(x).

В этом можно убедиться, взглянув на предыдущие примеры. Эта факторная теорема может привести к некоторым интересным результатам.

Result 1: If P(x) is a polynomial of degree “n”, and “r” is a zero of P(x) then P(x) can be written in the following form, 

P(x) = (x – r) Q(x)

Where Q(x) is a polynomial of degree “n-1” and can be found out by dividing P(x) with (x – r). 

Result 2: If P(x) = (x-r)Q(x) and x = t is a zero of Q(x) then x = t will also be zero of P(x). 

Для проверки вышеуказанного факта

Допустим, «t» — это корень Q(x), это означает, что Q(t) = 0.

Мы знаем, что «r» является корнем многочлена P(x), где P(x) = (x – r) Q(x),

Итак, нам нужно проверить, является ли x = t также корнем P(x), давайте положим x = t в P(x)

P(t) = (t – r) Q(t) = 0

Итак, x = t также является корнем P(x).

Следовательно, доказано.

Примеры проблем

Вопрос 1: Учитывая, что x = 2 является нулем P(x) = x ³ +2x ² −5x−6. Найдите два других нуля.

Решение:

From the fundamental theorem we studied earlier, we can say that P(x) will have 3 roots because it is a three degree polynomial. One of them is x = 2. 

So we can rewrite P(x), 

P(x) = (x – 2) Q(x)

For finding the other two roots, we need to find out the Q(x). 

Q(x) can be found out by dividing P(x) by (x-2). 

After dividing, the Q(x) comes out to be, 

Q(x) = x² + 4x + 3

The remaining two roots can be found out from this, 

Q(x) = x² + 3x + x + 3 

⇒ x(x + 3) + 1(x + 3) 

⇒ (x + 1) (x + 3) 

Q(x) = 0, 

x = -1, -3 

Thus, the other two roots are x = -1 and x = -3. 

Вопрос 2: Учитывая, что x = r является корнем многочлена, найдите другие корни многочлена.

Р(х) = х ³ -6 х ² -16 х; г = -2

Решение:

We know that x = -2 is a root, 

So, P(x) can be rewritten as, P(x) = (x + 2) Q(x). 

Now to find Q(x), we do the same thing as we did in the previous question, we divide P(x) with (x + 2). 

We get, 

Q(x) = x² – 8x

Now to find the other two roots, factorize Q(x) 

Q(x) = x (x – 8) = 0

So, the roots are x = 0, 8. 

Thus, we have three roots, x = -2, 0, 8. 

SO, this polynomial can also be written in factored form,

P(x) = (x + 2) (x) (x – 8)

Вопрос ³ : Найдите корни многочлена ^4x3-3x2-25x -6=0

Решение:

Trick to solve polynomial equations with degree 3,

Find the smallest integer that can make the polynomial value 0, start with 1,-1,2, and so on…

Here we can see -2 can make the polynomial value 0.

Write (x+2) at 3 places and then write the coefficients accordingly to make the complete polynomial 

4x² (x+2) -11x(x+2) -3(x+2) =0

Now, notice carefully, the first coefficient is 4x², because when it is multiplied with the x inside the bracket, it gives 4x³

When 4x² is multiplied with 2, it gives 8x², but the second term must be -3x², hence the coefficient added next is -11x 

Now, we know how to adjust the terms so that when we simplify it gives back the original polynomial.

We get a quadratic equation and a root is already there,

(4x²-11x-3)(x+2) = 0

Factorize the quadratic equation,

(4x²-12x+x-3)(x+2) = 0

(4x(x-3)+1(x-3))(x+2) = 0

(4x+1)(x-3)(x+2) = 0

x = -2, x = 3, x = -1/4

Вопрос 4: Найдите нули многочлена, 4x6 - ^16x4 = ⁰

Решение:

The Polynomial has up to degree 6, hence, there exist 6 roots of the polynomial.

4x⁴(x²-4) = 0

4x⁴(x²-2²) = 0

4x⁴[(x+2)(x-2)] = 0

Therefore, x= 0, 0, 0, 0, 2, -2