Найдите все комплексные кубические корни w = 8 (cos 150° + i sin 150°)

Комплексные числа — это числа в форме a + ib, такие, что a и b — действительные числа, а i (йота) — мнимая составляющая и представляет √(-1), обычно изображаемые в прямоугольной или стандартной форме. Например, 10 + 5i — это комплексное число, где 10 — действительная часть, а 5i — мнимая часть. Они могут быть чисто реальными или чисто мнимыми в зависимости от значений a и b. Если a = 0 в a + ib, то ib — чисто мнимое число, а если b = 0, то мы имеем a — чисто вещественное число.

Вычисление корней комплексных чисел

Теорему Де Муавра можно использовать для упрощения комплексных чисел более высокого порядка. Его можно использовать для определения корней комплексных чисел, а также для расширения комплексных чисел в соответствии с их показателем степени.

Given: , then its roots are:

Where, 

k lies between 0 and n – 1 and n is the exponent or radical. 

Найдите все комплексные кубические корни w = 8 (cos 150° + i sin 150°)

Решение:

w = 8(Cos 150° + i sin 150°)

The above complex number can also be expressed as w = 8(cos(150° + 360n) + i sin(150° + 360n).

w^1/3 = {8[(cos(150° + 360n) + i sin(150° + 360n)]}^1/3

= 2^(3)(1/3) [(cos(150° + 360n) + i sin(150° + 360n)]^1/3

As per DeMoivre’s Theorem, (cos x + isinx)ⁿ = cos(nx) + isin(nx). 

= 

Substitute n = 0, 1, 2 to find the roots.

• For n = 0, w₁ =  = 2(cos 50° + i sin 50°)
• For n = 1, w₂ =  = 2(cos 170° + i sin 170°)
• For n = 2, w₃ =  = 2(cos 290° + i sin 290°)

Похожие проблемы

Вопрос 1. Найдите все комплексные кубические корни w = 125(Cos 150° + i sin 150°). Запишите корни в полярной форме с тета в градусах.

Решение:

w = 125(Cos 150° + i sin 150°)

The above complex number can also be expressed as w = 125 (cos(150° + 360n) + i sin(150° + 360n).

w^1/3 = 

= 5^(3)(1/3) 

As per DeMoivre’s Theorem, (cos x + isinx)ⁿ = cos(nx) + isin(nx). 

= 

Substitute n = 0,1,2 to find the roots.

• For n = 0, w₁ =  = 2(cos 50° + i sin 50°)
• For n = 1, w₂ =  = 2(cos 170° + i sin 170°)
• For n = 2, w₃ =  = 2(cos 290° + i sin 290°)

Вопрос 2. Найдите все комплексные кубические корни w = 27(Cos 150° + i sin 150°). Запишите корни в полярной форме с тета в градусах.

Решение:

w = 27(Cos 150° + i sin 150°)

The above complex number can also be expressed as w = 27(cos(150° + 360n) + i sin(150° + 360n).

w^1/3 = 

= 3^(3)(1/3) 

As per DeMoivre’s Theorem, (cos x + isinx)ⁿ = cos(nx) + isin(nx). 

= 

Substitute n = 0,1,2 to find the roots.

• For n = 0, w₁ =  = 2(cos 50° + i sin 50°)
• For n = 1, w₂ =  = 3(cos 170° + i sin 170°)
• For n = 2, w₃ =  = 3(cos 290° + i sin 290°)

Вопрос 3. Найдите все комплексные кубические корни w = 64 (Cos 150° + i sin 150°). Запишите корни в полярной форме с тета в градусах.

Решение:

w = 64(Cos 150° + i sin 150°)

The above complex number can also be expressed as w = 64(cos(150° + 360n) + i sin(150° + 360n).

w^1/3 = 

= 4^(3)(1/3) 

As per DeMoivre’s Theorem, (cos x + isinx)ⁿ = cos(nx) + isin(nx). 

= 

Substitute n = 0,1,2 to find the roots.

• For n = 0, w1 =  = 4(cos 50° + i sin 50°)
• For n = 1, w2 =  = 4(cos 170° + i sin 170°)
• For n = 2, w3 =  = 4(cos 290° + i sin 290°)

Вопрос 4. Найдите все комплексные кубические корни w = 343 (Cos 150° + i sin 150°). Запишите корни в полярной форме с тета в градусах.

Решение:

w = 343(Cos 150° + i sin 150°)

The above complex number can also be expressed as w = 343(cos(150° + 360n) + i sin(150° + 360n).

w^1/3 = 

= 7^(3)(1/3) 

As per DeMoivre’s Theorem, (cos x + isinx)ⁿ = cos(nx) + isin(nx). 

= 

Substitute n = 0,1,2 to find the roots.

• For n = 0, w1 = = 7(cos 50° + i sin 50°)
• For n = 1, w2 =  = 7(cos 170° + i sin 170°)
• For n = 2, w3 =  = 7(cos 290° + i sin 290°)

Вопрос 5. Найдите все комплексные кубические корни w = 729 (Cos 150° + i sin 150°). Запишите корни в полярной форме с тета в градусах.

Решение:

w = 729(Cos 150° + i sin 150°)

The above complex number can also be expressed as w = 729(cos(150° + 360n) + i sin(150° + 360n).

w^1/3 = 

= 9^(3)(1/3)

As per DeMoivre’s Theorem, (cos x + isinx)ⁿ = cos(nx) + isin(nx). 

= 

Substitute n = 0,1,2 to find the roots.

• For n = 0, w1 = = 9(cos 50° + i sin 50°)
• For n = 1, w2 =  = 9(cos 170° + i sin 170°)
• For n = 2, w3 =  = 9(cos 290° + i sin 290°)