Найдите площадь наибольшего прямоугольника, который можно вписать в эллипс, используя уравнение (x2)/4 + (y2)/9 = 1.

Конические сечения — это раздел математики, имеющий дело с такими кривыми, как окружность, парабола, эллипс, гипербола и т. д. Эти кривые также известны как конические сечения или коники, потому что они могут быть получены как пересечения плоскости с прямым кругом с двойной вершиной. конус. Окружность, парабола, эллипс и т. д. получаются при разрезании конуса определенным образом плоскостью.

Итак, давайте обсудим, как мы находим самый большой прямоугольник в эллипсе для общего уравнения:

General form of equation of ellipse: x²/a² + y²/b² = 1

Итак, давайте предположим точку на эллипсе (acosθ, bsinθ), тогда диаграмма будет:

Теперь, если прямоугольник мы сделали прямоугольником в эллипсе, он будет симметричен как по оси x, так и по оси y, тогда длина и ширина прямоугольника будут:

Затем, по приведенной выше схеме:

Длина прямоугольника = 2acosθ

Ширина прямоугольника = 2bsinθ

Теперь площадь прямоугольника = длина * ширина

А = 2acosθ * 2bsinθ

A = 2ab (2cosθsinθ) {Поскольку sin2θ = 2cosθsinθ}

А = 2ab sin2θ

Но мы должны максимизировать площадь, чтобы получить наибольшую площадь прямоугольника. Для этого мы вычисляем производную первого порядка вышеприведенного уравнения и приравниваем к 0.

dA/dθ = d(2ab sin2θ)/dθ

dA/dθ = 2ab (2cos2θ)

dA/dθ = 4abcos2θ

Приравнивая уравнение к 0 получаем

4abcos2θ = 0

cos2θ = 0

2θ = π/2

θ = π/4

Теперь, чтобы проверить, является ли площадь прямоугольника максимальной или минимальной при этом угле, мы должны снова вычислить дифференцирование уравнения:

d(dA/dθ)/dθ = d(4abcos2θ)/dθ

d ² A/dθ ² = 4ab (-2sin2θ)

так как d ² A/dθ ² < 0, т.е. производная второго порядка отрицательна

Так как производная второго порядка отрицательна, то данный угол является максимальным углом, и значение при этом угле максимально.

Следовательно, площадь наибольшего прямоугольника равна A = 2ab sin2(π/4).

Area of largest Rectangle = 2ab

где а — половина большой оси эллипса, а b — половина малой оси эллипса.

Найдите площадь наибольшего прямоугольника, который можно вписать в эллипс, используя уравнение (x ² )/4 + (y ² )/9 = 1.

Решение:

Now in given equation we have equation of ellipse:

x²/4 + y²/9 = 1

On comparing with the generail equation of ellipse:

 x²/a² + y²/b² = 1

We get a = 2 and b = 3

As we know that the area of largest rectangle is 2ab

So, A = 2* 2 * 3

Area of largest rectangle that can be inscribed in given ellipse = 12

Подобный вопрос

Вопрос 1: Найдите площадь наибольшего прямоугольника, который можно вписать в эллипс (x ^2/100 ) + (y ^2/64 ) = 1.

Решение:

Formulae of the area of largest rectangle = 2ab

Here a = 10 and b = 8

Area = 2 * a * b

Area = 2 * 10 * 8

Area = 160 sq. units

Вопрос 2: Найдите площадь наибольшего прямоугольника, который можно вписать в эллипс (x ^2/36 ) + (y 2/8) ⁼ 1.

Решение:

Formulae of the area of largest rectangle = 2ab

Here a = 6 and b = √8 = 2√2

Area = 2 * a * b

Area = 2 * 6 * 2√2

Area = 24√2 sq. units

Вопрос 3: Найдите площадь наибольшего прямоугольника, который можно вписать в эллипс (x ^2/1 ) + (y ^2/9 ) = 1.

Решение:

Formulae of the area of largest rectangle = 2ab

Here a = 1 and b = 3

Area = 2 * a * b

Area = 2 * 1 * 3

Area = 6 sq. units

Вопрос 4: Найдите площадь наибольшего прямоугольника, который можно вписать в эллипс (y ² /400) + (x ² /169) = 1.

Решение:

Formulae of the area of largest rectangle = 2ab

Here a = 13 and b =20

Area = 2 * a * b

Area = 2 * 13 * 20

Area = 520 sq. units

Вопрос 5: Найдите площадь наибольшего прямоугольника, который можно вписать в эллипс (y 2/18) ⁺ (x ^2/49 ) = 1.

Решение:

Formulae of the area of largest rectangle = 2ab

Here a = 7  and b = √18 = 3√2

Area = 2 * a * b

Area = 2 * 7 * 3√2

Area = 42√2 sq. units