Найдите отношение, в котором точка (– 1, 6) делит отрезок, соединяющий точки (– 3, 10) и (6, – 8)

Геометрия, несомненно, является одним из важнейших разделов математики. Его значение так же глубоко, как значение арифметики и алгебры, в нашей повседневной жизни, а также в технических тонкостях и хитросплетениях математики. Геометрия в повседневной жизни в основном распространена повсюду. Он применяется при проектировании простой коробки для мобильного телефона или ноутбука, резервуара для воды или даже автобуса, грузовика и даже плотин. Следовательно, все, что занимает пространство и имеет определенную форму, должно быть охвачено рамками геометрии. В математической теории и задачах концепция геометрии используется для определения расстояния между двумя фигурами, занимаемого ими пространства, их размеров и положения.

Координатная плоскость

Такая плоскость, образованная пересечением двух прямых, одна из которых вертикальная, а другая горизонтальная, в математике называется координатной плоскостью. Это двумерная плоскость, вертикальная линия которой считается осью у, а горизонтальная – осью х. Точка пересечения двух линий на плоскости называется исходной точкой и обозначается буквой O. Цифры на совпадающей сетке используются для обнаружения точек. Координатную плоскость можно использовать для построения точек, линий и многого другого. Он действует как диаграмма и дает точные направления из одной точки в другую.

Координаты

Координаты представляют собой группу из двух значений, определяющих положение выбранной точки на сетке координатной плоскости, которую лучше называть координатной плоскостью. Точка внутри координатной плоскости известна своей упорядоченной парой (x, y), записанной в круглых скобках, как координата X и, следовательно, координата Y. Эти координаты часто бывают положительными, нулевыми или отрицательными, в зависимости от их положения в соответствующих квадрантах.

Знаки координат в разных квадрантах

Координатная плоскость делится на 4 квадранта с осью x и осью y. Первый квадрант — самый верхний правый, где координаты x и y — положительные числа; второй квадрант лежит слева от первого, где координата x положительна, а координата y отрицательна; третий квадрант находится непосредственно под вторым квадрантом, где координата x отрицательна, а координата y положительна; четвертый квадрант находится непосредственно под первым квадрантом и справа от третьего квадранта, где обе координаты x и y отрицательны.

Формула раздела

В декартовой системе данный отрезок проходит через бесконечное количество точек. Очевидно, что все такие точки делят данный отрезок на две части, которые могут быть или не быть равными по длине. Теперь, если известны координаты такой точки, то можно узнать, в каком отношении произошло деление отрезка. Возможна и обратная ситуация: зная соотношение, в котором делится отрезок, можно вычислить координаты точки, ответственной за такое деление. Это когда концепция формулы раздела появляется на картинке.

Формула сечения используется для определения координаты точки, которая делит отрезок, соединяющий две точки, на две части так, что отношение их длин равно m:n.

Предположим, что _A (a1, _b1 ) и _B (a2, b2) — _две точки на плоскости xy, а T — точка, делящая отрезок AB внутри в соотношении m:n, тогда формула сечения для определение координат точки T определяется как:

T(a, b) = 

Найдите отношение, в котором точка (– 1, 6) делит отрезок, соединяющий точки (– 3, 10) и (6, – 8).

Решение:

Let the ratio in which the point T(-1, 6) divides the line segment joining A(– 3, 10) and B(6, – 8) be m:n.

As per section formula, coordinates of point T are given by:

(-1, 6) = 

⇒ -1 =  and 6 = 

⇒ −m − n = 6m − 3n and 6m + 6n = −8m + 10n

⇒ 2n = 7m and 4n = 14m

⇒ 7m = 2n

⇒ m:n = 2:7

Hence the point (– 1, 6) divides the line segment joining the points (– 3, 10) and (6, – 8) internally in the ratio 2:7.

Похожие проблемы

Вопрос 1. Найдите отношение, в котором точка (– 7/5,0) делит отрезок, соединяющий точки (4, 6) и (−5, – 4).

Решение:

Let the ratio in which the point T(– 7/5,0) divides the line segment joining A(4, 6) and B(−5, – 4) be m:n.

As per section formula, coordinates of point T are given by:

(– 7/5,0) = 

⇒ -7/5 =  and 0 = 

⇒ −7m − 7n = -25m + 20n and 0 = −4m + 6n

⇒ 27n = 18m and 6n = 4m

⇒ 2m = 3n

⇒ m:n = 3:2

Hence the point (– 7/5,0) divides the line segment joining the points (4, 6) and (−5, – 4) internally in the ratio 3:2.

Вопрос 2. Найдите отношение, в котором точка (0, 3) делит отрезок, соединяющий точки (2, 1) и (-3, 6).

Решение:

Let the ratio in which the point T(0, 3) divides the line segment joining A(2, 1) and B(-3, 6) be m:n.

As per section formula, coordinates of point T are given by:

(0, 3) = 

⇒ 0 =  and 3 = 

⇒ 0 = -3m + 2n and 3m + 3n = 6m + n

⇒ 2n = 3m and 6n = 4m

⇒ 3m = 2n

⇒ m:n = 2:3

Hence the point (0, 3) divides the line segment joining the points (2, 1) and (−3, 6) internally in the ratio 2:3.

Вопрос 3. Найдите отношение, в котором точка (3, 6) делит отрезок, соединяющий точки (4, 8) и (2, 4).

Решение:

Let the ratio in which the point T(3, 6) divides the line segment joining A(4, 8) and B(2, 4) be m:n.

As per section formula, coordinates of point T are given by:

(3, 6) = 

⇒ 3 =  and 6 = 

⇒ 3m + 3n = 2m + 4n and 6m + 6n = 4m + 8n

⇒ n = m and 2n = 2m

⇒ m = n

⇒ m:n = 1:1

Hence the point (3, 6) divides the line segment joining the points (4, 8) and (2, 4) internally in the ratio 1:1.