Найдите координаты точек трисекции отрезка, соединяющего точки A(2, – 2) и B(– 7, 4)

Математика – это предмет, который связан с числами и вычислениями. И, в зависимости от типа вычислений, математика делится на разные разделы, такие как алгебра, геометрия, арифметика и т. д.

Геометрия Это раздел математики, изучающий формы и их свойства. Геометрия, имеющая дело с точками, линиями и плоскостями, в которых задействованы координаты, называется координатной геометрией.

Координаты

Расположение любой точки на плоскости может быть выражено как (x, y), и эти пары известны как координаты, x — горизонтальное значение точки на плоскости. Эту величину также можно назвать координатой x или абсциссой , y — значением высоты точки на плоскости. Это значение можно назвать координатой y или ординатой . В координатной геометрии точка изображается на декартовой плоскости.

декартова плоскость

Это плоскость, образованная двумя перпендикулярными линиями, которые являются осью x (горизонтальная ось) и осью y (вертикальная ось). Положение точки на декартовой плоскости можно представить с помощью упорядоченной пары (x, y).

Формула раздела

Если прямые A и B имеют координаты (x ₁ , y ₁ ) и (x ₂ , y ₂ ) соответственно, а C — точка, которая делит прямую в отношении m:n, то координаты точки P задаются как

• Когда отношение m:n является внутренним:

1. х = (мх ₂ + пх ₁ ) / (м + п)
2. у = (мои ₂ + ny ₁ ) / (м + п)

• Когда отношение внешнее: когда точка лежит за пределами отрезка.

1. х = (mx ₂ – nx ₁ ) / (m + n)
2. y = (my ₂ – ny ₁ ) / (m + n)

Найдите координаты точек трисекции отрезка, соединяющего точки A(2, – 2) и B(– 7, 4).

Решение:

Point of trisection means the points that can divide a line into three equal parts. According to the question we have a line segment joining A(2, -2) and B (-7, 4) and we have to find the points that can divide the line AB into three parts having an equal length. A line AB as shown in the diagram is given below,

Suppose C and D to be points of intersection,

So, according to the question, the coordinates of C and D are required.

In coordinate, section formula is used to find a point that divides a line into m:n ratio. According to the question, let C and D be the point of trisection having coordinates (x₃, y₃) and (x₄, y₄) respectively. Therefore,

AC = CD = DB

Then, point C will divide the line AB in ratio 1:2. Apply section formula to get the coordinate of point C.

Here,

m = 1, n= 2

x₁ = 2, y₁ = -2

x₂ = -7, y₂ = 4

Apply section formula:

x₃ = (mx₂ + nx₁) /(m + n)

= ((1)(-7) + (2)(2)) / (1 + 2)

=(-7 + 4) / 3

= -3/3

= -1

y₄ = (my₂ + ny₂) / (m + n)

= ((1)(4) + (2)(-2))/ (1+2)

= (4 – 4) / 3

= 0

Coordinate of C(x₃, y₄) = (-1, 0)

C and D divide AB into three equal parts, then CD = DB. Now using section formula or midpoint formula, calculate coordinate of D.

D divides CB in ratio 1:1.

Now for section formula,

m =1, n = 1

x₁ = -1, y₁ = 0

x₂ = -7, y₂ = 4

Apply section formula:

x₄ = (mx₂ + nx₁) /( m + n)

= ((1)(-7) + (1)(-1)) / (1 + 1)

= ( -7 -1 )/ 2

= -8/2

= -4

y₄ = (my₂ + ny₁) / (m + n)

= ((1)(4) + (1)(0))/ (1 + 2)

= (4) / 2

= 2

Coordinate of D(x₄ , y₄) = ( -4, 2)

Therefore, (-1, 0) and (-4, 2) are the points of trisection of the line segment joining the points A(2, -2) and B(-7, 4). 

Примеры проблем

Вопрос 1: Найдите координаты точек трисекции (т. е. точек, делящихся на три равные части) отрезка, соединяющего точки A(0, 0) и B(0, 3).

Решение:

Let C and D be the point.

As AC = CD = DB then C will divide the line segment AB in 1:2 ratio.

Here,

m = 1, n= 2

x₁ = 0, y₁ = 0

x₂ = 0, y₂ = 3

Apply section formula:

x₃ = (mx₁ + nx₁) / (m + n)

= ((1)(0) + (2)(0)) / (1 + 2)

= (0) / 3

= 0

y₄ = (my₁ + ny₂) / (m + n)

= ((1)(3) + (2)(0)) / (1 + 2)

= (3) / 3

= 1

Coordinate of C(x₃ , y₃) = (0, 1)

Now using section formula or midpoint formula, calculate coordinate of D. D divides CB in ratio 1:1.

Now for section formula,

m =1, n = 1

x₁ = 0, y₁ = 1

x₂ = 0, y₂= 3

Apply section formula:

x₄= (mx₂ + nx₁) / (m + n)

= ((1)(0) + (1)(0)) / (1+1)

= ( 0 )/ 2

= 0

y₄= (my₂ + ny₁) / (m + n)

= ((1)(3) + (1)(1))/ (1 + 2)

= ( 4) / 2

= 2

Coordinate of D(x₄ , y₄) = ( 0, 2)

Вопрос 2: Найдите координаты точек, которые делят отрезок, соединяющий точки A(2, 4) и B(8,10) в отношении 1:2.

Решение:

Let C be the point that divides the line segment joining the points A(2, 4) and B(8,10) in 1:2 ratio. Here,

m =1, n = 2

x₁ = 2, y₁ = 4

x₂ = 8, y₂ = 10

Apply section formula,

x= (mx₂ + nx₁) / (m + n)

= ((1)(8) + (2)(2)) / (1 + 2)

= (12 )/ 3

= 4

y = (my₂ + ny₁) / (m + n)

= ((1)(10) + (2)(4))/ (1 + 2)

= (18) / 3

= 6

Coordinate of point that divides line segment AB in 1:2 ratio is (4, 6).