Найдите комплексное число a + bi такое, что a2 + b2 иррационально

Действительные и мнимые числа объединяются в комплексные числа. Мнимая составляющая I (йота) указывает на квадратный корень из -1. Мнимая часть комплексного числа равна i. a + ib — это типичное представление комплексных чисел в их прямоугольной или стандартной форме. Например, 420 + 69i — это комплексное число, в котором 420 представляет собой действительную часть, а 69 — мнимую часть.

Модуль

Когда комплексное число представлено на графике, его действительная часть откладывается по оси x, а мнимая часть — по оси y. Скажем, если бы число было представлено точкой P на рисунке ниже, треугольники OPA и OPB были бы прямоугольными. Ясно, что в прямоугольном треугольнике POA PO — гипотенуза; Оа — основание, Па — перпендикуляр. Используя теорему Пифагора, имеем:

ОП ² = ОА ² + ПА ²

ОП =

Абсолютное значение комплексного числа рассматривается как его модуль. Это квадратный корень из суммы квадратов его действительной и мнимой частей. В приведенном выше случае OP является модулем комплексного числа вида z = a + ib и обозначается через r.

Найдите комплексное число a + bi такое, что a ² + b ² иррационально.

Решение:

An irrational number is the one which can be expressed in the form of a/b, where b ≠ 0, like √2, √3, etc.

Say we are given the complex number 1 + .

Comparing this with the form a + ib, we have: 

a = 1, b = 

Now, a² + b² = 

= 1 + 4^2/3

Clearly, 4^2/3 cannot be expressed in the form of a/b. Hence it is an irrational number.

Похожие проблемы

Вопрос 1. Докажите, что квадрат модуля иррационально.

Решение:

Comparing this with the form a + ib, we have:

a = 0, b = 

Now, a² + b² = 

= 2^2/3

Clearly, 2^2/3 cannot be expressed in the form of a/b. Hence it is an irrational number.

Вопрос 2. Докажите, что квадрат модуля иррационально.

Решение:

Comparing this with the form a + ib, we have:

a = 0, b = 

Now, a² + b² = 

= 2^2/5

Clearly, 2^2/5 cannot be expressed in the form of a/b. Hence it is an irrational number.

Вопрос 3. Докажите, что квадрат модуля 3 + иррационально.

Решение:

Comparing this with the form a + ib, we have:

a = 3, b = 

Now, a² + b² = 

= 9 + 2^2/3

Clearly, 2^2/3 cannot be expressed in the form of a/b. Hence it is an irrational number.

Вопрос 4. Докажите, что квадрат модуля является рациональным.

Решение:

Comparing this with the form a + ib, we have:

a = 4, b =  = 2

Now, a² + b² = 4² + 2²

= 20

Clearly, 20 can be expressed in the form of a/b. Hence it is a rational number.

Вопрос 5. Докажите, что квадрат модуля 10 + иррационально.

Решение:

Comparing this with the form a + ib, we have:

a = 10, b = 

Now, a² + b² = 

= 100 + 2^2/3

Clearly, 2^2/3 cannot be expressed in the form of a/b. Hence it is an irrational number.