Найдите действительную и мнимую части комплексного числа z = e2 + 4i.

Число относится к слову или символу, который представляет определенное количество. Только с помощью чисел выполняются многочисленные арифметические операции и мы готовы многое развивать в области физики и арифметики. Человек не может прожить свою жизнь без использования чисел, даже для самых простых дел или задач. Даже наличные деньги, обмениваемые на товары, могут быть определенной стоимостью, представленной числами. Связка чисел, сгруппированных вместе, используется для назначения человека в качестве его контактного номера, так что известность цифр в нашей жизни.

Типы чисел

Существуют различные типы чисел, основанные на различных характеристиках и свойствах. Натуральные числа, целые числа, целые числа, рациональные числа, иррациональные числа и т. д. Давайте посмотрим на их определения,

• Натуральные числа: Группа чисел, используемая для подсчета определенных объектов, называется натуральными числами. Такая группа чисел начинается с 1 (единицы) и продолжается до бесконечности. Следует отметить, что натуральные числа включают только положительные целые числа.
• Целые числа: группа чисел, состоящая из всех положительных целых чисел и нуля.
• Целые числа: Целое число по своей сути определяется как целое число, которое может принимать либо положительное, либо отрицательное значение, либо вообще не иметь никакого значения.
• Рациональные числа: такие числа могут быть выражены в виде дроби. Эти числа имеют завершающее десятичное расширение.
• Иррациональные числа: такие числа нельзя представить в виде дроби.
• Реальные числа: такие числа включают в себя как рациональные числа, так и их иррациональные аналоги.

Действительные и мнимые числа

Такие числа, которые включают в себя как рациональные числа, так и их иррациональные аналоги, называются действительными числами. Они основаны на концепции числовой прямой, где ноль является началом координат, а все числа справа от него — положительными, а числа слева от начала координат — отрицательными.

Часто бывает так, что при решении квадратных уравнений дискриминант оказывается отрицательным значением меньше квадратного корня. Это может показаться невозможным, потому что, следуя общему правилу математики, квадрат отрицательного числа является положительным числом, поэтому нет смысла, чтобы идеальный квадрат или любое действительное число, если уж на то пошло, были отрицательными и вообще находились под корнем. . Однако в математике числа также можно изобразить как квадратный корень из отрицательного числа. Например, является мнимым числом, так как оно изображает число 100, которое представляет собой полный квадрат как отрицательное число под квадратным корнем. Такие числа неосязаемы, но все же реальны в том смысле, что они используются в математике. Другими словами, мнимые числа — это числа, противоположные действительным числам. Они не основаны на понятии числовой линии и, как следствие, не могут быть изображены или нанесены на нее. Другим способом определения мнимого числа может быть такое число, которое дает отрицательный результат при умножении на себя, т. е. возведение в квадрат.

Представление мнимого числа без части квадратного корня

Мнимое число, записанное без использования корневого арифметического выражения, может быть записано как действительное число, умноженное на йоту, обозначенное i, которое является мнимой единицей, и йота (i) = √(-1).

Следовательно, можно записать как = 10√(-1) = 10i.

Полномочия я

• i = √-1
• i² = -1
• i³ = i × i² = i × -1 = -i
• i⁴ = i² × i² = -1 × -1 = 1
• i⁵ = i × i⁴ = i
• i⁶ = i × i⁵ = i × i = i² = -1
• i⁷ = i × i⁶ = i × -1 = -i
• i⁸ = (i²)⁴ = (-1)⁴ = 1
• i⁹ = i × i⁸ = i × 1 = i
• i¹⁰ = i × i⁹ = i × i = i² = -1

Following this pattern, one can conclude that i repeats its values after every 4^th power.

Комплексные числа

Комплексное число можно назвать гибридом действительных и мнимых чисел, причем действительное число или составляющая представляет собой любую дробь, рациональное или иррациональное целое число, а его мнимая часть представлена как действительное число в результате умножения на мнимую единицу йота, изображенную i. Таким образом, комплексное число показывает действительное число и мнимое число, объединенное любой из этих двух арифметических операций, сложения и вычитания.

Стандартная форма комплексного числа

Комплексное число в его стандартной форме выражается как a + ib, где a и b оба являются действительными числами, но b, будучи умножением на мнимую переменную i, представляет собой мнимую часть всего комплексного числа, которую можно обозначить через «з». Следовательно, комплексное число обычно записывается в виде z = a + ib, где a обозначает действительную часть, а ib или bi — мнимую составляющую. Если на то пошло, 0 + bi также будет рассматриваться как комплексное число, действительная часть которого не существует, а bi изображает его мнимый аналог.

Примеры

• 5 + 2i is a complex number, where 5 is the real part and 2i depicts the imaginary part.
• e² + 12i  is a complex number, where e² is the real part and 12i is the imaginary part.
• √22 – 162i is a complex number, where √22 is the real part and 162i is the imaginary part.

Найдите действительную и мнимую части комплексного числа z = e ² + 4i.

Решение:

A complex number is usually written in the form z = a + ib, where a depicts the real part and ib or bi would be the imaginary constituent.

Hence, real part = e² and imaginary part = 4i.

Похожие проблемы

Вопрос 1: Найдите действительную и мнимую части числа e ^-2 + i13.

Решение:

A complex number is usually written in the form z = a + ib, where a depicts the real part and ib or bi would be the imaginary constituent.

Real part = e^-2 = 1/ e² and imaginary part = 13i.

Вопрос 2: Найдите действительную и мнимую части e ^z , если z = x + iy.

Решение:

e^z = e^{x + iy}

= e^x(cosy + isiny)

= e^x cos y + e^x isiny

Hence the real part = e^x cos y and the imaginary part = e^x isiny.

Вопрос 3: Найдите действительную и мнимую части числа 3i ²⁰ – i ¹⁹ .

Решение:

Clearly, i²⁰ = 1 and i¹⁹ = i.

So, the expression becomes 3(1) – i 

= 3 – i

Hence the real part = 3 and the imaginary part = 1.

Вопрос 4. Найдите действительную и мнимую части числа q, если q ∈ R.

Решение:

q ∈ R, q is a real number, implying that it does not have any imaginary part. Alternatively one can say that the coefficient of i is zero.

Hence the real part and the imaginary part of q for all q ∈ R are q and zero respectively.

Вопрос 5: Найдите действительную и мнимую части числа 10i ¹⁰⁰ + 2i ⁹⁹ .

Решение:

Clearly, i¹⁰⁰ = 1 and i⁹⁹ = -i

So, the expression becomes 10(1) + 2(-i)

= 10 – 2i

Hence the real part = 10 and the imaginary part = 2.