Найдите четвертые корни числа 5(1 + i√3)

Действительные и мнимые числа объединяются в комплексные числа. Мнимая составляющая I (йота) указывает на квадратный корень из -1. Мнимая часть комплексного числа равна i. a + ib — это типичное представление комплексных чисел в их прямоугольной или стандартной форме. Например, 100 + 25i — это комплексное число, в котором 100 представляет собой действительную часть, а 25i — мнимую часть.

Представление комплексных чисел в полярной форме

Для представления комплексного числа сюда записываются полярные координаты действительной и мнимой составляющих. представляет собой угол, под которым числовая линия наклонена к действительной оси, т.е. к оси x. Длина, указанная линией, известна как ее модуль и обозначается буквой r в алфавите. Действительные и мнимые компоненты представлены как a и b соответственно, а модуль представлен как OP = r на диаграмме ниже.

Чтобы получить длину r, нужно использовать теорему Пифагора. Тригонометрические соотношения можно использовать для вычисления аргументов. Полярная форма комплексного числа типа z = a + ib представлена следующим образом:

r = модуль [cos (аргумент) + isin (аргумент)]

В качестве альтернативы z = r[cosθ + isinθ]

В этом случае г = и θ = тангенс ^-1 {b/a}.

Вычисление корней комплексных чисел

Теорему Де Муавра можно использовать для упрощения комплексных чисел более высокого порядка. Его можно использовать для определения корней комплексных чисел, а также для расширения комплексных чисел в соответствии с их показателем степени.

Данный: , то его корни:

Где k лежит между 0 и n – 1, а n – показатель степени или радикал.

Найдите четвертые корни числа 5(1 + i√3). Оставить в тригонометрической форме.

Решение:

Modulus of the given number =  = 10

Argument = tan^-1[5√3/ 5] = π/3.

Thus, the polar form of 5 + 5√3i = 

According to DeMoivre’s formula, all the nth roots of a complex number are given by:

, where  k lies between 0 and n – 1 and n is the exponent or radical. 

Here, r = 10, θ = π/3 and n = 4.

Find the 4 roots by substituting the values of k as 0, 1, 2 and 3 respectively.

• For k = 0, z = 

= 

• For k = 1, z = 

= 

• For k = 2, z = 

= 

• For k = 3, z = 

= 

Thus, the four roots of 5(1 + i√3) are  and .

Похожие проблемы

Вопрос 1: Найдите кубические корни из -2 – 2√3i.

Решение:

r =  = √(16) = 4, θ = 4π/ 3.

According to DeMoivre’s formula, all the nth roots of a complex number are given by:

, where k lies between 0 and n – 1 and n is the exponent or radical.

Find the 3 roots by substituting the values of m as 0, 1 and 2 respectively,

For m = 0, z = 

= 0.27 + 1.56i

For m = 1, z = 

= −1.49 − 0.54i

For m = 2, z = 

= 1.21 −1.02i      

Thus, the roots are 0.27 + 1.56i, −1.49 − 0.54i and 1.21 – 1.02i.                      

Вопрос 2: Найдите корни пятой степени из 32 + 0i.

Решение:

Modulus =  = 32.

Argument = θ = tan^-1(0/ 32) = 0.

According to DeMoivre’s formula, all the nth roots of a complex number are given by:

, where k lies between 0 and n – 1 and n is the exponent or radical. 

Find the 5 roots by substituting the values of m as 0, 1, 2, 3 and 4.

For m = 0,  

= 2

For m = 1, 

z =  

= 0.62 + 1.9i

For m = 2,  

z =  

= −1.62 + 1.18i

For m = 3,  

= −1.62 − 1.18i

For m = 4,  

= 0.62 − 1.9i

Thus, the roots are 2, 0.62 + 1.9i, -1.62 + 1.18i, -1.62 – 1.18i and 0.62 – 1.9i.            

Вопрос 3: Найдите корни четвертой степени из -8√3 + 8i.

Решение:

Polar form = 

We have k = 2, n = 4 and θ = 5π/ 6.

According to DeMoivre’s formula, all the nth roots of a complex number are given by:

, where k lies between 0 and n – 1 and n is the exponent or radical. 

Find the 4 roots by substituting the values of m as 0, 1, 2 and 3 respectively.

For m = 0, 

For m = 1, 

For m = 2, 

For m = 3, 

Thus, the four roots of z are 1.58 + 1.21i, −1.21 + 1.58i, −1.58 −1.21i and 1.21 − 1.58i.

Вопрос 4: Найдите корень шестой степени из -27i. Оставить в тригонометрической форме.

Решение:

Modulus = 

Argument = θ = tan^-1(-27/ 0) = π/2.

Polar form = 

According to DeMoivre’s formula, all the nth roots of a complex number are given by:

, where k lies between 0 and n – 1 and n is the exponent or radical. 

Find the 6 roots by substituting the values of m as 0, 1, 2, 3, 4 and 5.

• For m = 0,  z = 

= 

• For m = 1,  z = 

= 

• For m = 2,  z = 

= 

• For m = 3,  z = 

= 

• For m = 4,  z = 

= 

• For m = 5, z = 

= 

Вопрос 5: Найдите корень четвертой степени из 81i. Оставить в тригонометрической форме.

Решение:

Polar form = 

We have k = 81, n = 4 and θ = π/ 2.

According to DeMoivre’s formula, all the nth roots of a complex number are given by:

, where k lies between 0 and n – 1 and n is the exponent or radical.

Find the 4 roots by substituting the values of m as 0, 1, 2 and 3 respectively.

• For m = 0, z =  = 
• For m = 1, z =  = 
• For m = 2, z =  = 
• For m = 3, z =