Миноры и кофакторы детерминантов

Матрица представляет собой массив действительных чисел (или других подходящих объектов), расположенных в строках и столбцах, где объекты относятся к элементам, присутствующим в матрице. На изображении ниже показана матрица, где элементы, разделенные по горизонтали, известны как строки матрицы, а элементы, разделенные по вертикали, известны как столбцы матрицы.

Как мы знаем, матрица состоит из строк и столбцов, матрица ниже имеет 3 строки и 3 столбца, поэтому порядок матрицы равен 3 × 3.

Любые четыре элемента a, b, c и d расположены в двух строках и двух столбцах между двумя вертикальными полосами, как показано ниже, формы, которые называются определителем второго порядка или определителем второго порядка. Как показано ниже, демонстрирует определитель и расширение определителя.

Определитель матрицы

Определитель полезен для решения линейных уравнений, определения того, как линейное преобразование изменяет площадь или объем, а также для изменения переменных в интегралах. Определитель можно рассматривать как функцию, входом которой является квадратная матрица, а выходом — число. В приведенной ниже статье мы подробно обсуждаем миноры и кофакторы. На простом языке мы можем сказать: каждой малой матрице А можно связать число (действительное или комплексное), которое называется определителем квадратной матрицы А.

Определитель матрицы можно легко представить как det (A) или | А |

Теперь давайте перейдем к нашей теме, а именно к минорным и сопутствующим факторам.

Итак, сначала давайте обсудим несовершеннолетних.

Примечание:

• Вопросы, представленные в этой статье, появлялись в различных контрольных работах предыдущего года.
• i представляет строки определителя, тогда как j представляет столбцы определителя.
• Я выделяю ij ^-й термин, чтобы вы могли ясно видеть и не путаться.
• В приведенной ниже статье вы увидите вопросы, и решение этого вопроса продемонстрировано изображением.

Минор матрицы

Минор элемента a _ij определителя – это определитель, полученный вычеркиванием i ^-й строки и j ^-го столбца, в котором элемент a _ij вранье. Минор элемента a _ij обозначается M _ij

Шаги для вычисления минора матрицы

Шаг 1: Скрыть i ^-ю строку и j ^-й столбец матрицы A, где лежит элемент a _ij .

Шаг 2: Теперь вычислите определитель матрицы после удаления строки и столбца с помощью шага 1.

Примеры задач на минор матрицы

Проблема 1: Если матрица A

затем напишите минор числа _22.

Решение:

In this question, we have to find out the minor of a₂₂, the element present at a₂₂ is 0. As we learn from our definition of a minor we have to delete the i^th row and j^th columns at which our asked element is present. Below image is demonstrating how to delete the i^th row and j^th column

After deletion, we write our left element as it is and do cross multiplication.

Now after deleting i^th row and j^th column we had to expand the determinant, so we get (8 – 15) which on solving gives -7, which is our required answer.

Note: Always remember, after multiplication of left diagonal element always put -ve sign then do the multiplication of right diagonal elements and solve them out.

Проблема 2: Если матрица A

затем узнайте минор _32.

Решение:

In the above question we have asked to find out the minor of a₃₂ element which is 1. So as we did in this above problem same procedure we will follow. So firstly we have to delete the i^th row and j^th column at which our element is present.

So we had canceled the i^th row and j^th column at which our element is present. So write the elements which are left as it is.

Then do the cross multiplication and solve:

Следуя той же процедуре, что и в предыдущем вопросе, мы решили и этот вопрос путем расширения определителя, как мы обсуждали во введении.

Кофакторы матрицы

Кофактор элемента a _ij определителя, обозначаемого A _ij или C _ij , определяется как A _ij = (-1) ^i+j M _ij , где M _ij — минор элемента a _ij

Формула для поиска кофакторов

A _ij = (-1) ^i+j M _ij

Примеры задач на кофакторы матрицы

Задача 1. Если матрица A

напишите кофактор элемента а _32.

Решение:

As asked in question we have to find the co factor of element a32 which means our row (i) = 3 and column (j) = 2 so we have row and column as we do to find the minor by deleting the rows and column at which asked element exist we do the same in this question to and then put that in our formula -> A_ij = (-1)^i+j  M_ij

So after putting in the formula of finding cofactor and doing expansion of determinant we get (-1) (5 – 16) which on solving gives the answer 11, this is our required answer.

Задача 2: Если A _ij элемента a _ij определителя, приведенного ниже, то запишите значение a ₃₂ . А ₃₂

Решение:

In the question, we are having determinant. So we have row and column given in the question.

Here, a₃₂ = 3+2 = 5

Given, A_ij is the cofactor of the element a_ij of A . So now we can solve this question by putting the values in the formula of cofactor as discussed in above question.

So, 110 is our required answer.