Методы расчета стандартного отклонения в рядах частотного распределения
Научная мера дисперсии, которая широко используется в статистическом анализе данного набора данных, известна как стандартное отклонение. Другое название стандартного отклонения — среднеквадратичное отклонение . Обозначается греческим символом σ (сигма). При этом методе отклонение значений берется от среднего арифметического заданного набора данных.
According to Spiegel, “The Standard Deviation is the square root of the arithmetic mean of the squares of all deviations. Deviations being measured from arithmetic mean of the items.”
Стандартное отклонение считается лучшим способом определения дисперсии набора данных. Это связано с тем, что стандартное отклонение учитывает каждое значение набора данных вместе с его алгебраическими знаками. Его можно рассчитать в трех разных сериях; а именно, отдельные, дискретные и частотные серии распределения.
Методы расчета стандартного отклонения в рядах распределения частот
- Прямой метод
- Укороченный метод
- Метод ступенчатого отклонения
1. Прямой метод
В этом методе стандартное отклонение ряда данных определяется непосредственно через отклонения среднего арифметического от каждого значения. Этапы расчета стандартного отклонения дискретного ряда прямым методом следующие:
- Прежде всего, определяется среднее арифметическое заданного ряда или набора данных. Он обозначается
- Теперь отклонения каждого среднего значения интервалов или размеров классов берутся от среднего арифметического, т. е. x = m –
- На следующем этапе определенные отклонения возводятся в квадрат, а затем умножаются на соответствующие им частоты, в результате чего получается fx 2
- Последним шагом является использование формулы прямого метода для расчета стандартного отклонения.
σ =
OR
Пример. Рассчитайте стандартное отклонение следующего ряда прямым методом.
Интервал класса | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 |
|---|---|---|---|---|---|
Частота | 2 | 7 | 10 | 5 | 3 |
Solution:
Class Interval Mid-Value (m) Frequency (f) fm x2 fx2 0 – 10 5 2 10 -20 400 800 10 – 20 15 7 105 -10 100 700 20 – 30 25 10 250 0 0 0 30 – 40 35 5 175 10 100 500 40 – 50 45 3 135 20 400 1200 N = 27 ∑fm = 675 ∑fx2 = 3200 σ =
=
=
= 10.89
Standard Deviation = 10.89
2. Укороченный метод
В этом методе стандартное отклонение ряда данных определяется путем получения отклонений средних значений интервалов классов набора данных. Отклонение средних значений берется от среднего арифметического набора данных. Шаги расчета стандартного отклонения ряда частотного распределения с помощью метода сокращений следующие:
- Прежде всего, принимается значение из средних значений данного набора данных, а затем берутся отклонения предполагаемого значения от средних значений. Отклонение обозначается d (d = m – A)
- Теперь частоты набора данных умножаются на их соответствующие отклонения и обозначаются fd.
- На следующем шаге fd, определенное на предыдущем шаге, умножается на отклонения (d).
- Последним шагом является вычисление стандартного отклонения ряда частотного распределения по формуле.
σ =
Пример. Рассчитайте стандартное отклонение для следующего ряда с помощью сокращенного метода.
Интервал класса | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 |
|---|---|---|---|---|---|---|
Частота | 15 | 17 | 19 | 27 | 19 | 12 |
Solution:
Class Interval Mid-Value (m) Frequency(f) d = m – A (A = 35)
fd fd2 0-10 5 15 -30 -450 13500 10-20 15 17 -20 -340 6800 20-30 25 19 -10 -190 1900 30-40 35 (A) 27 0 0 0 40-50 45 19 10 190 1900 50-60 55 12 20 240 4800 N = 109 ∑fd = -550 ∑fd2 = 28900 σ =
=
=
=
=
= 15.48
Standard Deviation = 15.48
3. Метод ступенчатого отклонения
В этом методе стандартное отклонение ряда данных определяется с учетом общего фактора интервалов классов. Это самый популярный метод определения стандартного отклонения.
Шаги для расчета стандартного отклонения ряда частотного распределения с помощью метода ступенчатого отклонения следующие:
- Прежде всего, принимается значение из средних значений заданного набора данных, а затем берутся отклонения предполагаемого значения от средних значений. Отклонение обозначается d (d = m – A).
- Следующим шагом является деление отклонений на их общий множитель, обозначаемый d' (d' =
). - Теперь d' умножается на соответствующие им частоты, чтобы получить fd'
- На следующем шаге fd' умножается на d', чтобы получить fd' 2
- Последним шагом является вычисление стандартного отклонения ряда частотного распределения по формуле.
Пример. Рассчитайте стандартное отклонение следующего ряда с помощью метода ступенчатого отклонения.
Интервал класса | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Частота | 5 | 10 | 20 | 40 | 30 | 20 | 10 | 5 |
Solution:
Class Interval Mid-Value (m) Frequency (f) d = m – A (A=45)
fd’ fd’2 0-10 5 5 -40 -4 -20 80 10-20 15 10 -30 -3 -30 90 20-30 25 20 -20 -2 -40 80 30-40 35 40 -10 -1 -40 40 40-50 45 (A) 30 0 0 0 0 50-60 55 20 10 1 20 20 60-70 65 10 20 2 20 40 70-80 75 5 30 3 15 45 N = 140 ∑fd’ = -75 ∑fd’2 = 375 σ =
=
=
=
=
=
= 15.46
Standard Deviation = 15.46
