Математические заметки CBSE Class 11

Опубликовано: 8 Октября, 2022

Когда жизнь дает вам выбор — расскажите, что вы выбрали после досок? Мы предполагаем, что это либо коммерция, либо наука (учитывая, что вы здесь, чтобы пересмотреть наши математические заметки CBSE Class 11 от GeeksforGeeks) . Наши примечания к пересмотру математики для класса 11 CBSE были разработаны в максимально простом и подробном формате, охватывающем почти все области, такие как дифференциальное исчисление, арифметика, тригонометрия и координатная геометрия. Мы знаем, как тяжело становится, когда вы переходите в совершенно новый класс, где предметы уже не те, что прежде, особенно математика.

Наши заметки NCERT по математике CBSE Class 11 предназначены для учащихся, которые хотят получить высокие оценки в 11-м классе, а также на конкурсных экзаменах, таких как JEE Mains и JEE Advanced. Эти заметки NCERT по математике для 11 класса, предоставленные GeeksforGeeks, помогут учащимся легко понять каждую идею и должным образом пересмотреть ее перед экзаменами. Эти заметки были написаны экспертами в предметной области, что имеет большое преимущество в том, что студенты будут достаточно квалифицированы, чтобы ответить на любой вопрос, который может быть задан на экзаменах.

Наши специалисты разработали эти заметки, которые бесплатно доступны на GeeksforGeeks. Математические заметки CBSE Class 8 включают все важные главы из улучшенных учебников NCERT, включая тригонометрические функции, отношения и функции, принципы математической индукции и многое другое.

Другими важными темами, охватываемыми в учебной программе по математике для класса 11, являются комплексные числа и квадратные уравнения, линейные неравенства, пределы и производные, статистика и вероятность и т. д. Решения NCERT для класса 11 и решения RD Sharma для класса 11 также рассматриваются нашими экспертами для класса 11 студентов.

На этом GeeksforGeeks также не остановился на некоторых важных ресурсах для всех учащихся, изучающих математику: более 1500 наиболее часто задаваемых вопросов по математике, важные формулы для 11-го класса по главам и многие другие.

Эти примечания к пересмотру по конкретным предметам включают все основные темы, которые необходимы для учащихся 11-го класса Совета CBSE. Упростите свои математические задачи с более современными заметками по математике, доступными бесплатно в Интернете.

Глава 1: Наборы

Начнем с заметок по математике для 11 класса . В главе объясняется концепция множеств вместе с их представлением. Заметки по математике для 11 класса охватывают такие темы, как запись чисел в виде множеств, проверка пустых, конечных, бесконечных и равных множеств, идентификация подмножеств, выполнение различных операций над множествами, диаграммы Венна и поиск объединения и пересечения множеств.

Некоторые важные формулы, изученные в CBSE Class 11 Chapter 1-Sets,

A – A = Ø
B – A = B⋂ A’
B – A = B – (A⋂B)
(A – B) = A if A⋂B = Ø
(A – B) ⋂ C = (A⋂ C) – (B⋂C)
A ΔB = (A-B) U (B- A)
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B)
n(A∪B∪C)= n(A) +n(B) + n(C) – n(B⋂C) – n (A⋂ B)- n (A⋂C) + n(A⋂B⋂C)
n(A – B) = n(A∪B) – n(B)
n(A – B) = n(A) – n(A⋂B)
n(A’) = n(∪) – n(A)
n(U) = n(A) + n(B) + – n(A⋂B) + n((A∪B)’)
n((A∪B)’) = n(U) + n(A⋂B) – n(A) – n(B)

Глава 1 математических заметок CBSE Class 11 охватывает следующие темы:

Множества и их представления
Различные виды наборов
Подмножества, мощные наборы и универсальные наборы
Диаграммы Венна
Операции над множествами
Объединение и пересечение множеств

Дополнительные ресурсы для CBSE Class 11 Math Chapter 1

Class 11 NCERT Solutions Maths Chapter 1
Class 11 RD Sharma Solutions Sets
All important formulas for Chapter 1

Глава 2: Отношения и функции

В главе «Отношения и функции» объясняется, является ли отношение функцией, определяются различные типы функций, сложение, вычитание, умножение функций и определение их диапазона.

Глава разделена на два раздела: «Связь» и «Функции». Темы, затронутые в первой части, - это декартово произведение множеств, которое включает в себя такие подтемы, как количество элементов в декартовом произведении двух конечных множеств и декартово произведение множества действительных чисел на себя. Далее обсуждаются понятие отношения, графические диаграммы, домен, содомен и диапазон отношения.

Следующий раздел этой главы состоит из таких тем, как функции с действительными значениями, область определения и диапазон этих функций, константа, единица, полиномиальная, рациональная, модульная, знаковая, экспоненциальная, логарифмическая и функция наибольшего целого числа с их графиками.

Важные формулы, используемые в CBSE Class 11 Chapter 2-Relations & Functions:

Inverse of Relation: A and B are any two non-empty sets. Let R be a relationship between two sets A and B. The inverse of relation R, indicated as R^-1, is a relationship that connects B and A and is defined by
R^-1 ={(b, a) : (a, b) ∈ R}
where, Domainof R = Range of R^-1 and Rangeof R = Domain of R^-1.
Acartesian product A × B of two sets A and B is given by: A × B = { (a,b) : a ϵ A, b ϵ B}
If (a, b) = (x, y); then a = x and b = y
If n(A) = x and n(B) = y, then n(A × B) = xy and A × ϕϕ = ϕϕ
The cartesian product: A × B ≠ B × A.
Algebra of functions: If the function f : X → R and g : X → R; we have:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) ; x ϵ X
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
(f . g)(x) = f(x).g(x)
(kf)(x) = k(f(x)) where k is a real number
{f/g}(x) = f(x)/g(x), g(x)≠0

Глава 2 математических заметок CBSE Class 11 охватывает следующие темы:

Декартово произведение множеств
Отношения и функции
Введение в домен и диапазон
Кусочная функция
Диапазон функции

Дополнительные ресурсы для CBSE Class 11 Math Chapter 2

Class 11 NCERT Solutions Maths Chapter 2
Class 11 RD Sharma Solutions Relations and Functions Chapter 1 and Chapter 2
All important formulas for Chapter 2

Глава 3: Тригонометрические функции

Глава «Тригонометрические функции» в основном посвящена тому, как измерять углы в радианах и градусах и как конвертировать между ними. В главе также рассматривается использование единичного круга для определения тригонометрических функций, общее решение тригонометрических уравнений, знаки, область определения и область значений тригонометрических функций, а также их графики.

Глава знакомит учащихся с процессом выражения sin (xy) и cos (xy) через sinx, siny, cosx и cosy, а также с их простыми приложениями и выводом тождеств для sin 2x, cos 2x, tan 2x, sin 3x, cos 3x и tan 3x соответственно.

Полезные важные формулы в CBSE Class 11 Chapter 3: Trigonometric Functions:

Reciprocal Trigonometric Ratios:
sin θ = 1 / (cosec θ)
cosec θ = 1 / (sin θ)
cos θ = 1 / (sec θ)
sec θ = 1 / (cos θ)
tan θ = 1 / (cot θ)
cot θ = 1 / (tan θ)
Trigonometric Ratios of Complementary Angles:
sin (90° – θ) = cos θ
cos (90° – θ) = sin θ
tan (90° – θ) = cot θ
cot (90° – θ) = tan θ
sec (90° – θ) = cosec θ
cosec (90° – θ) = sec θ
Periodic Trignometric Ratios
sin(π/2-θ) = cos θ
cos(π/2-θ) = sin θ
sin(π-θ) = sin θ
cos(π-θ) = -cos θ
sin(π+θ)=-sin θ
cos(π+θ)=-cos θ
sin(2π-θ) = -sin θ
cos(2π-θ) = cos θ
Trigonometric Identities
sin² θ + cos² θ = 1 ⇒ sin² θ = 1 – cos² θ ⇒ cos² θ = 1 – sin² θ
cosec² θ – cot² θ = 1 ⇒ cosec² θ = 1 + cot² θ ⇒ cot² θ = cosec² θ – 1
sec² θ – tan² θ = 1 ⇒ sec² θ = 1 + tan² θ ⇒ tan² θ = sec² θ – 1
Product to Sum Formulas
sin x sin y = 1/2 [cos(x–y) − cos(x+y)]
cos x cos y = 1/2[cos(x–y) + cos(x+y)]
sin x cos y = 1/2[sin(x+y) + sin(x−y)]
cos x sin y = 1/2[sin(x+y) – sin(x−y)]
Sum to Product Formulas
sin x + sin y = 2 sin [(x+y)/2] cos [(x-y)/2]
sin x – sin y = 2 cos [(x+y)/2] sin [(x-y)/2]
cos x + cos y = 2 cos [(x+y)/2] cos [(x-y)/2]
cos x – cos y = -2 sin [(x+y)/2] sin [(x-y)/2]
General Trignometric Formulas:
sin (x+y) = sin x × cos y + cos x × sin y
cos(x+y)=cosx×cosy−sinx×siny
cos(x–y)=cosx×cosy+sinx×siny
sin(x–y)=sinx×cosy−cosx×siny
If there are no angles x, y and (x ± y) is an odd multiple of (π / 2); then:
tan (x+y) = tan x + tan y / 1 − tan x tan y
tan (x−y) = tan x − tan y / 1 + tan x tan y
If there are no angles x, y and (x ± y) is an odd multiple of π; then:
cot (x+y) = cot x cot y−1 / cot y + cot x
cot (x−y) = cot x cot y+1 / cot y − cot x
Formulas for twice of the angles:
sin2θ = 2sinθ cosθ = [2tan θ /(1+tan2θ)]
cos2θ = cos2θ–sin2θ = 1–2sin2θ = 2cos2θ–1= [(1-tan2θ)/(1+tan2θ)]
tan 2θ = (2 tan θ)/(1-tan2θ)
Formulas for thrice of the angles:
sin 3θ = 3sin θ – 4sin 3θ
cos 3θ = 4cos 3θ – 3cos θ
tan 3θ = [3tan θ–tan 3θ]/[1−3tan 2θ]

Глава 3 математических заметок CBSE Class 11 охватывает следующие темы:

Угол и его измерение
Тригонометрические функции
Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

Дополнительные ресурсы для CBSE Class 11 Math Chapter 3

Class 11 NCERT Solutions Maths Chapter 3
Class 11 RD Sharma Solution Trigonometric Functions Chapter 1, Chapter 2, Chapter 3, Chapter 4, Chapter 5, Chapter 6, Chapter 7, and Chapter 8.
All important formulas for Chapter 3

Глава 4: Принцип математической индукции

Как следует из названия, в главе объясняется концепция Принципа математической индукции. Глава «Принцип математической индукции» охватывает множество тем, в том числе проверку индукции и обоснование применения, рассматривая натуральные числа как наименее индуктивное подмножество действительных чисел. Упражнение главы охватывает проблемы, связанные с принципом математической индукции, а также с его основными приложениями.

Обсуждаемые темы - это процесс доказательства индукции и мотивация приложения, использующего натуральные числа как наименее индуктивное подмножество действительных чисел.

Основные моменты, рассматриваемые в CBSE Class 11 Chapter 4: Принцип математической индукции, следующие:

Principle of Mathematical Induction:The principle of mathematical induction is one such tool that can be used to prove a wide variety of mathematical statements.
Working Rule:
Step 1: Show that the given statement is true for n = 1.
Step 2: Assume that the statement is true for n = k.
Step 3: Using the assumption made in step 2, show that the statement is true for n = k + 1. We have proved the statement is true for n = k. According to step 3, it is also true for k + 1 (i.e., 1 + 1 = 2). By repeating the above logic, it is true for every natural number.

Глава 4 математических заметок CBSE Class 11 охватывает следующую тему:

Принцип математической индукции

Дополнительные ресурсы для CBSE Class 11 Math Chapter 4

Class 11 NCERT Solutions Maths Chapter 4
Class 11 RD Sharma Solutions Principle of Mathematical Induction
All important formulas for Chapter 4

Глава 5: Комплексные числа и квадратные уравнения

Как следует из названия главы, « Комплексные числа и квадратные уравнения» в этой главе объясняется концепция комплексных чисел и квадратных уравнений, а также их свойства. Обсуждаемые темы: квадратный корень, алгебраические свойства, плоскость Аргана и полярное представление комплексных чисел, а также решения квадратных уравнений в комплексной системе счисления.

Основными темами, затронутыми в этой главе, являются определение модуля и сопряжения комплексного числа, представление комплексного числа в полярной форме на аргандовой плоскости. В этой главе также объясняется решение квадратного уравнения и анализ дискриминанта квадратного уравнения.

Полезная важная информация, описанная в главе 5 «Комплексные числа и квадратные уравнения» CBSE Class 11:

Imaginary Numbers: The square root of a negative real number is called an imaginary number, e.g. √-2, √-5 etc. The quantity √-1 is an imaginary unit and it is denoted by ‘i’ called iota.
i = √-1, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1
Equality of Complex Number: Two complex numbers z₁ = x₁ + iy₁ and z₂ = x₂ + iy₂ are equal, iff x₁ = x₂ and y₁ = y₂ i.e. Re(z₁) = Re(z₂) and Im(z₁) = Im(z₂)
Algebra of Complex Numbers
Addition: Consider z₁ = x₁ + iy₁ and z₂ = x₂ + iy₂ are any two complex numbers, then their sum is defined as
z₁ + z₂ = (x₁ + iy₁) + (x₂ + iy₂) = (x₁ + x₂) + i (y₁ + y₂)
Subtraction: Consider z₁ = (x₁ + iy₁) and z₂ = (x₂ + iy₂) are any two complex numbers, then their difference is defined as
z₁ – z₂ = (x₁ + iy₁) – (x₂ + iy₂) = (x₁ – x₂) + i(y₁ – y₂)
Multiplication: Consider z₁ = (x₁ + iy₁) and z₂ = (x₂ + iy₂) be any two complex numbers, then their multiplication is defined as
z₁z₂ = (x₁ + iy₁) (x₂ + iy₂) = (x₁x₂ – y₁y₂) + i (x₁y₂ + x₂y₁)
Division: Consider z₁ = x₁ + iy₁ and z₂ = x₂ + iy₂ be any two complex numbers, then their division is defined as
Conjugate of Complex Number: Consider z = x + iy, if ‘i’ is replaced by (-i), then it is called to be conjugate of the complex number z and it is denoted by z¯, i.e.
Modulus of a Complex Number: Consider z = x + iy be a complex number. So, the positive square root of the sum of square of real part and square of imaginary part is called modulus (absolute values) of z and it is denoted by |z| i.e.
|z| = √x₂+y₂
Argand Plane: Any complex number z = x + iy can be represented geometrically by a point (x, y) in a plane, called argand plane or gaussian plane.
Argument of a complex Number: The angle made by line joining point z to the origin, with the positive direction of X-axis in an anti-clockwise sense is called argument or amplitude of complex number. It is denoted by the symbol arg(z) or amp(z).
arg(z) = θ = tan^-1(y/x)
Principal Value of Argument
When x > 0 and y > 0 ⇒ arg(z) = θ
When x < 0 and y > 0 ⇒ arg(z) = π – θ
When x < 0 and y < 0 ⇒ arg(z) = -(π – θ)
When x > 0 and y < 0 ⇒ arg(z) = -θ
Polar Form of a Complex Number: When z = x + iy is a complex number, so z can be written as,
z = |z| (cosθ + isinθ), where θ = arg(z).
which is known as the polar form.
Now, when the general value of the argument is θ, so the polar form of z is written as,
z = |z| [cos (2nπ + θ) + isin(2nπ + θ)], where n is an integer.

Глава 5 математических заметок CBSE Class 11 охватывает следующие темы:

Комплексные числа
Алгебра реальных функций
Алгебраические операции над комплексными числами
Плоскость Аргана и полярное представление
Абсолютное значение комплексного числа
Сопряжение комплексного числа
Мнимые числа

Дополнительные ресурсы для CBSE Class 11 Math Chapter 5

Class 11 NCERT Solutions Maths Chapter 5
Class 11 RD Sharma Solutions Complex Numbers and Quadratic Equations Chapter 1 andChapter 2
All important formulas for Chapter 5

Глава 6: Линейные неравенства

Глава 6 примечаний NCERT по математике для 11 класса объясняет концепцию линейных неравенств. Линейные неравенства имеют дело с графическим значением алгебраических решений линейных уравнений с одной и двумя переменными, иллюстрируемых линейными неравенствами. Примечания к этой главе могут помочь учащимся развить свои способности к визуализации. Следующие примечания охватывают решение линейных неравенств, поиск графического решения линейных уравнений с двумя переменными и преобразование текстовых задач для преобразования их в математические уравнения.

Полезная важная информация, представленная в главе 6 «Линейные неравенства» CBSE Class 11:

Symbols used in inequalities
The symbol < means less than.
The symbol > means greater than.
The symbol < with a bar underneath ≤ means less than or equal to.
The symbol > with a bar underneath ≥ means greater than or equal to.
The symbol ≠ means the quantities on the left and right sides are not equal to.

Глава 6 математических заметок CBSE Class 11 охватывает следующие темы:

Составные неравенства
Алгебраические решения линейных неравенств с одной переменной и их графическое представление
Графическое решение линейных неравенств с двумя переменными
Словесные задачи на линейные неравенства

Дополнительные ресурсы для CBSE Class 11 Math Chapter 6

Class 11 NCERT Solutions Maths Chapter 6
Class 11 RD Sharma Solutions Linear Inequalities
All important formulas for Chapter 6

Глава 7: Перестановки и комбинации

В главе 7 математики 11 класса NCERT поясняет, что понятия перестановки (расположение ряда объектов в определенном порядке) и комбинации (набор объектов независимо от порядка). Обсуждаемые темы касаются фундаментального принципа подсчета, факториала, перестановок, комбинаций и их приложений.

Важные формулы, используемые в CBSE Class 11 Chapter 7 - Permutations and Combinations,

Factorial: The continued product of first n natural number is called factorial ‘n’. It is denoted by n! which is given by,
n! = n(n – 1)(n – 2)… 3 × 2 × 1 and 0! = 1! = 1
Permutations: Permutation refers to the various arrangements that can be constructed by taking some or all of a set of things. The number of an arrangement of n objects taken r at a time, where 0 < r ≤ n, denoted by ⁿP_r is given by
ⁿP_r = n! / (n−r)!
The number of permutation of n objects of which p₁ are of one kind, p₂ are of second kind,… pk are of kth kind such that p₁ + p₂ + p₃ + … + p_k = n is
n! / p₁! p₂! p₃! ….. p_k!
Combinations: Combinations are any of the various selections formed by taking some or all of a number of objects, regardless of their arrangement. The number of r objects chosen from a set of n objects is indicated by ⁿC_r, and it is given by
ⁿC_r = n! / r!(n−r)!
Relation Between Permutation and combination: The relationship between the two concepts is given by two theorems as,
ⁿP_r = ⁿC_rr! when 0 < r ≤ n.
ⁿC_r + ⁿC_r-1= ⁿ⁺¹C_r

Глава 7 математических заметок CBSE Class 11 охватывает следующие темы:

Фундаментальный принцип подсчета
Перестановка
Комбинации

Дополнительные ресурсы для CBSE Class 11 Math Chapter 7

Class 11 NCERT Solutions Maths Chapter 7
Class 11 RD Sharma Solutions Permutations and Combinations Chapter 1 andChapter 2
All important formulas for Chapter 7

Глава 8: Биномиальная теорема

биномиальная теорема — это принцип, который можно использовать для решения и упрощения множества задач не только из предыдущей главы, но и из смежных тем, таких как вероятность. В результате учащиеся должны быть знакомы с биномиальной теоремой и с тем, как ее использовать для расширения выражений.

В главе 8 заметок NCERT по математике для класса 11 обсуждается биномиальная теорема для положительных целых чисел, используемая для решения сложных вычислений. Обсуждаемые темы - история, формулировка и доказательство биномиальной теоремы и ее расширения вместе с треугольником Паскаля.

Важные выводы из главы 8 CBSE Class 11 - Биномиальная теорема:

Binomial Theorem: The expansion of a binomial for any positive integer n is given by Binomial Theorem, which is
(a + b)ⁿ = ⁿC₀ a_n + ⁿC₁ a_n-1 b + ⁿC2 a_n-2 b₂ + … + ⁿC_n-1 a b_n-1 + ⁿC_n b_n
Some special cases from the binomial theorem can be written as:
(x – y)ⁿ = ⁿC₀ x_n – ⁿC₁ x_n-1 y + ⁿC₂ x_n-2 y₂ + … + (-1)ⁿ ⁿC_n x_n
(1 – x)ⁿ = ⁿC₀ – ⁿC₁ x + ⁿC₂ x² – …. (-1)ⁿ ⁿC_n x_n
ⁿC₀ = ⁿC_n = 1
Pascal’s triangle: The coefficients of the expansions are arranged in an array called Pascal’s triangle.
General Term of following expansions are:
(a + b)ⁿ is T_r+1= ⁿC_r a^n−r.b^r
(a – b)ⁿ is (-1)^r ⁿC_r a^n−r.b^r
(1 + x)_n = ⁿC_r . x_r
(1 – x)_n = (-1)^r ⁿC_n x^r
Middle Terms: In the expansion (a + b)ⁿ, if n is even, then the middle term is the (n/2 + 1)^th term. If n is odd, then the middle terms are (n/2 + 1)^th and ((n+1)/2+1)^th terms.

Глава 8 математических заметок CBSE Class 11 охватывает следующие темы:

Биномиальная теорема для положительных целых индексов
Треугольник Паскаля

Дополнительные ресурсы для CBSE Class 11 Math Chapter 8

Class 11 NCERT Solutions Maths Chapter 8
Class 11 RD Sharma Solutions Binomial Theorem
All important formulas for Chapter 8

Глава 9: Последовательности и серии

Студенты узнают об арифметических и геометрических прогрессиях, а также о том, как они связаны друг с другом, через последовательности и ряды. Этот урок также включает в себя пошаговое руководство по работе со специальными сериями.

В главе примечаний NCERT по математике для класса 11 - Последовательности и серии обсуждаются концепции последовательности (упорядоченный список чисел) и серии (сумма всех членов последовательности). Обсуждаемые темы: последовательность и ряды, арифметическая и геометрическая прогрессия, арифметика и среднее геометрическое.

Некоторые важные формулы, описанные в CBSE Class 11 Chapter 9 — Sequences and Series:

For an Arithmetic Series: a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, …….a +(n-1)d
The first term: a₁ = a,
The second term: a₂ = a + d,
The third term: a₃ = a + 2d,
The nth term: a_n = a + (n – 1)d
nth term of an AP from the last term is a’_n =a_n – (n – 1)d.
a_n + a’_n = constant
Common difference of an AP i.e. d = a_n – a_n-1, ∀ n>1.
Sum of n Terms of an AP: S_n = n/2 [2a + (n – 1)d] = n/2 (a₁+ a_n)
A sequence is an AP If the sum of n terms is of the form An² + Bn, where A and B are constant and A = half of common difference i.e. 2A = d.
a_n =S_n – S_n-1
Arithmetic Mean: If a, A and b are in A.P then A = (a+b)/2 is called the arithmetic mean of a and b. If a₁, a₂, a₃,……a_n are n numbers, then their arithmetic mean is given by:
The common difference is given as, d = (b – a)/(n + 1)
The Sum of n arithmetic mean between a and b is, n (a+b/2).
Geometric Progression (GP): A sequence in which the ratio of two consecutive terms is constant is called geometric progression.
The constant ratio is called common ratio (r).
i.e. r = a_n+1/a_n, ∀ n>1
The general term or nth term of GP is a_n =ar^n-1
nth term of a GP from the end is a’_n = 1/r^n-1, l = last term
If a, b and c are three consecutive terms of a GP then b² = ac.
Geometric Mean (GM): If a, G and b are in GR then G is called the geometric mean of a and b and is given by G = √(ab).
If a,G₁, G₂, G₃,….. G_n, b are in GP then G₁, G₂, G₃,……G_n are in GM’s between a and b, then
common ratio is:
If a₁, a₂, a₃,…, a_n are n numbers are non-zero and non-negative, then their GM is given by
GM = (a₁ . a₂ . a₃ …a_n)^1/n
Product of n GM is G₁ × G₂ × G₃ ×… × G_n = G_n = (ab)^n/2
Sum of first n natural numbers is: Σn = 1 + 2 + 3 +… + n = n(n+1)/2
Sum of squares of first n natural numbers is: Σn² = 1² + 2² + 3² + … + n² = n(n+1)(2n+1)/6
Sum of cubes of first n natural numbers is: Σn³ = 1³ + 2³ + 3³ + .. + n³ = (n(n+1)(2n+1)/6)²

Глава 9 математических заметок CBSE Class 11 охватывает следующие темы:

Введение в последовательности и серии
Общие и средние термины - биномиальная теорема
Арифметическая серия
Арифметические последовательности
Геометрическая последовательность
Геометрическая серия
Арифметические и геометрические прогрессии Словесные задачи
Специальная серия

Дополнительные ресурсы для CBSE Class 11 Math Chapter 9

Class 11 NCERT Solutions Maths Chapter 9
Class 11 RD Sharma Solutions Chapter 1, Chapter 2, and Chapter 3
All important formulas for Chapter 9

Глава 10: Прямые линии

Глава 10. Прямые линии в 11-м классе — простой урок, но довольно запутанный из-за большого количества формул. Поэтому некоторым учащимся это трудно понять. Поэтому наши эксперты рекомендуют учащимся сначала понять происхождение и концепцию этих формул. Затем выполняйте постоянную практику, решая несколько вопросов по каждому из них.

Прямые линии определяли понятие линии, ее угол, наклон и общее уравнение. Обсуждаемые темы: наклон линии, угол между двумя линиями, различные формы уравнений линии, общее уравнение линии и семейство линий соответственно.

Важные формулы, описанные в CBSE Class 11 Chapter 10- Straight Lines

Distance Formula: The distance between two points A(x₁, y₁) and B (x₂, y₂) is given by,
Section Formula: The coordinates of the point which divides the joint of (x₁, y₁) and (x₂, y₂) in the ratio m:n internally, is
And externally is:
Mid-Point of the joint of (x₁, y₁) and (x₂, y₂) is: .
X-axis divides the line segment joining (x₁, y₁) and (x₂, y₂) in the ratio -y₁ : y₂.
Y-axis divides the line segment joining (x₁, y₁) and (x₂, y₂) in the ratio -x₁ : x₂.
Coordinates of Centroid of a Triangle with vertices (x₁, y₁), (x₂, y₂) and (x₃, y₃) is
Area of Triangle: The area of the triangle, the coordinates of whose vertices are (x₁, y₁), (x₂, y₂) and (x₃, y₃) is,
Slope or Gradient of Line: The inclination of angle θ to a line with a positive direction of X-axis in the anti-clockwise direction, the tangent of angle θ is said to be slope or gradient of the line and is denoted by m. i.e.
m = tan θ
Angle between Two Lines: The angle θ between two lines having slope m₁ and m₂ is,
If two lines are parallel, their slopes are equal i.e. m₁ = m₂.
If two lines are perpendicular to each other, then their product of slopes is -1 i.e. m₁m₂ = -1.
Point of intersection of two lines: Let equation of lines be ax₁ + by₁ + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0, then their point of intersection is
Distance of a Point from a Line: The perpendicular distanced of a point P(x₁, y₁)from the line Ax + By + C = 0 is given by,
Distance Between Two Parallel Lines: The distance d between two parallel lines y = mx + c₁ and y = mx + c₂ is given by,
Different forms of Equation of a line:
General Equation of a Line: Any equation of the form Ax + By + C = 0, where A and B are simultaneously not zero is called the general equation of a line
Normal form: The equation of a straight line upon which the length of the perpendicular from the origin is p and angle made by this perpendicular to the x-axis is α, is given by: x cos α + y sin α = p.
Intercept form: The equation of a line that cuts off intercepts a and b respectively on the x and y-axes is given by: x/a + y/b = 1.
Slope-intercept form: The equation of the line with slope m and making an intercept c on the y-axis, is y = mx + c.
One point-slope form: The equation of a line that passes through the point (x₁, y₁) and has the slope of m is given by y – y₁ = m (x – x₁).
Two points form: The equation of a line passing through the points (x₁, y₁) and (x₂, y₂) is given by

Глава 10 математических заметок CBSE Class 11 охватывает следующие темы:

Наклон прямой линии
Введение в линейные уравнения с двумя переменными на прямых линиях
Формы линейных уравнений с двумя переменными линии
Точечно-наклонная форма
Форма пересечения наклона прямых линий
Уравнения пересечения наклона
Стандартная форма прямой линии
x-перехваты и y-перехваты линии
Графики уравнений пересечения наклона

Дополнительные ресурсы для CBSE Class 11 Math Chapter 10

Class 11 NCERT Solutions Maths Chapter 10
Class 11 RD Sharma Solutions Chapter 1 and Chapter 2
All important formulas for Chapter 10

Глава 11: Конические сечения

Конические сечения идут далее в ряд фигур, включая конус , окружность , гиперболу и параболу, а также многие характеристики каждой из них. Учащимся объясняются различные компоненты этих фигур, а также способы определения их размеров.

Темами, обсуждаемыми в настоящей главе, являются сечения конуса, вырожденный случай конического сечения, а также уравнения и свойства конических сечений.

Некоторые важные формулы, изученные в CBSE Class 11 Chapter 11- Conic Sections,

Equation of a circle with radius r having a centre (h, k) is given by (x – h)² + (y – k)² = r².
The general equation of the circle is given by x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 , where, g, f and c are constants.
The centre of the circle is (-g, -f).
The radius of the circle is r = √(g²+ f²− c)
The parametric equation of the circle x² + y² = r² are given by x = r cos θ, y = r sin θ, where θ is the parametre.
And the parametric equation of the circle (x – h)² + (y – k)² = r² are given by x = h + r cos θ, y = k + r sin θ.
Parabola: A parabola is the set of points P whose distances from a fixed point F in the plane are equal to their distance from a fixed-line l in the plane. The fixed point F is called focus and the fixed-line l is the directrix of the parabola.
Different forms of parabola
y²= 4ax
y² = -4ax
x² = 4ay
x² = -4ay
Axis of parabola
y = 0
y = 0
x = 0
x = 0
Directrix of parabola
x = -a
x = a
y = -a
y = a
Vertex
(0, 0)
(0, 0)
(0, 0)
(0, 0)
Focus
(a, 0)
(-a, 0)
(0, a)
(0, -a)
Length of latus rectum
4a
4a
4a
4a
Focal length
|x + a|
|x – a|
|y + a|
|y – a|
Ellipse: An ellipse is the set of all points in the plane whose distances from a fixed point in the plane bears a constant ratio, less than to their distance from a fixed point in the plane. The fixed point is called focus, the fixed line a directrix and the constant ratio (e) the eccentricity of the ellipse. The two standard forms of ellipse with their terminologies are mentioned below in the table:
Different forms of Ellipse
x²/a²+ y²/b²= 1, a > b
x²/b²+ y²/a²= 1, a > b
Equation of Major Axis
y = 0
x = 0
Length of Major Axis
2a
2a
Equation of Minor Axis
x = 0
y = 0
Length of Minor Axis
2b
2b
Equation of Directrices
x = ±a/e
y = ±a/e
Vertex
(±a, 0)
(0, ±a)
Focus
(±ae, 0)
(0, ±ae)
Length of latus rectum
2b²/a
2b²/a
Hyperbola: A hyperbola is the locus of a point in a plane which moves in such a way that the ratio of its distance from a fixed point in the same plane to its distance from a fixed line is always constant which is always greater than unity. The fixed point is called the focus, the fixed line is called the directrix and the constant ratio, generally denoted bye, is known as the eccentricity of the hyperbola. The two standard forms of hyperbola with their terminologies are mentioned below in the table:
Different forms of Hyperbola
x²/a²– y²/b²= 1
x²/a²– y²/b²= 1
Coordinates of centre
(0, 0)
(0, 0)
Coordinates of vertices
(±a, 0)
(0, ±a)
Coordinates of foci
(±ae, 0)
(0, ±ae)
Length of Conjugate axis
2b
2b
Length of Transverse axis
2a
2a
Equation of Conjugate axis
x = 0
y = 0
Equation of Transverse axis
y = 0
x = 0
Equation of Directrices
x = ±a/e
y = ±a/e
Eccentricity (e)
√(a²+b²)/a²
√(a²+b²)/a²
Length of latus rectum
2b²/a
2b²/a

Глава 11 математических заметок CBSE Class 11 охватывает следующие темы:

Введение в конические сечения
Круг
Парабола
Эллипс
Гипербола
Идентификация конических сечений из их уравнения

Дополнительные ресурсы для CBSE Class 11 Math Chapter 11

Class 11 NCERT Solutions Maths Chapter 11
Class 11 RD Sharma Solutions Conic Sections Chapter 1, Chapter 2, Chapter 3 and Chapter 4
All important formulas for Chapter 11

Глава 12: Введение в трехмерную геометрию

В этой главе Введение в трехмерную геометрию математики класса 11 NCERT отмечает, что объясняется, что концепции геометрии в трехмерном пространстве. Обсуждаемые темы - координатные оси и плоскости соответственно, координаты точек, расстояние и сечение для точек.

Учащиеся изучают геометрические принципы, такие как формула расстояния и формула сечения, посредством введения в трехмерную геометрию. Это помогает учащимся понять, как эффективно применять эти формулы для решения задач.

Важные моменты, рассмотренные в CBSE Class 11 Chapter 12- Introduction to 3D Geometry,

Coordinate Axes: In three dimensions, the coordinate axes of a rectangular cartesian coordinate system are three mutually perpendicular lines. These axes are called the X, Y and Z axes.
Coordinate Planes: The three planes determined by the pair of axes are the coordinate planes. These planes are called XY, YZ and ZX planes and they divide the space into eight regions known as octants.
Coordinates of a Point in Space: The coordinates of a point in the space are the perpendicular distances from P on three mutually perpendicular coordinate planes YZ, ZX, and XY respectively. The coordinates of a point P are written in the form of triplet like (x, y, z). The coordinates of any point on:
X-axis is of the form (x, 0,0)
Y-axis is of the form (0, y, 0)
Z-axis is of the form (0, 0, z)
XY-plane are of the form (x, y, 0)
YZ-plane is of the form (0, y, z)
ZX-plane are of the form (x, 0, z)

Глава 12 математических заметок CBSE Class 11 охватывает следующие темы:

Координатные оси и координатные плоскости в 3D
Формула расстояния и формула сечения

Дополнительные ресурсы для CBSE Class 11 Math Chapter 12

Class 11 NCERT Solutions Maths Chapter 12
Class 11 RD Sharma Solutions Introduction to Three-dimensional Geometry
All important formulas for Chapter 12

Глава 13: Пределы и производные

Глава 13 примечаний NCERT по математике для класса 11 объясняет концепцию исчисления, которая касается изучения изменения значения функции, когда изменение происходит в точках домена. Обсуждаемые темы являются определение и алгебраические операции пределов и производные соответственно.

В главе «Пределы и производные» рассматриваются такие темы, как определение предела функции в точке, алгебра пределов, пределы тригонометрических функций, использование предельной формулы для нахождения производной функции и алгебра производных.

Некоторые важные формулы, описанные в CBSE Class 11 Chapter 13 - Limits and Derivatives,

Left Hand and Right-Hand Limits: If values of the function at the point which are very near to a on the left tends to a definite unique number as x tends to a, then the unique number so obtained is called the left-hand limit of f(x) at x = a, we write it as
Similarly, right hand limit is given as,
A limit exists when:
and both exists or,
Some Important Properties of Limits: Consider f and g be two functions such that both lim_{x o a}f(x) and lim_{x o a}g(x) exists, then:
Some Standard Limits are given as:

Derivatives: Consider a real-valued function f, such that:

is known as the Derivative of function f at x if and only if,
exists finitely.
Some Important Properties of Derivatives: Consider f and g be two functions such that their derivatives can be defined in a common domain as:
Some Standard Derivatives are given as:

Глава 13 математических заметок CBSE Class 11 охватывает следующие темы:

Введение в пределы
Формальное опр

Different forms of parabola	y²= 4ax	y² = -4ax	x² = 4ay	x² = -4ay
Axis of parabola	y = 0	y = 0	x = 0	x = 0
Directrix of parabola	x = -a	x = a	y = -a	y = a
Vertex	(0, 0)	(0, 0)	(0, 0)	(0, 0)
Focus	(a, 0)	(-a, 0)	(0, a)	(0, -a)
Length of latus rectum	4a	4a	4a	4a
Focal length	\|x + a\|	\|x – a\|	\|y + a\|	\|y – a\|

Different forms of Ellipse	x²/a²+ y²/b²= 1, a > b	x²/b²+ y²/a²= 1, a > b
Equation of Major Axis	y = 0	x = 0
Length of Major Axis	2a	2a
Equation of Minor Axis	x = 0	y = 0
Length of Minor Axis	2b	2b
Equation of Directrices	x = ±a/e	y = ±a/e
Vertex	(±a, 0)	(0, ±a)
Focus	(±ae, 0)	(0, ±ae)
Length of latus rectum	2b²/a	2b²/a

Different forms of Hyperbola	x²/a²– y²/b²= 1	x²/a²– y²/b²= 1
Coordinates of centre	(0, 0)	(0, 0)
Coordinates of vertices	(±a, 0)	(0, ±a)
Coordinates of foci	(±ae, 0)	(0, ±ae)
Length of Conjugate axis	2b	2b
Length of Transverse axis	2a	2a
Equation of Conjugate axis	x = 0	y = 0
Equation of Transverse axis	y = 0	x = 0
Equation of Directrices	x = ±a/e	y = ±a/e
Eccentricity (e)	√(a²+b²)/a²	√(a²+b²)/a²
Length of latus rectum	2b²/a	2b²/a