Математические формулы CBSE Class 8

Опубликовано: 8 Октября, 2022

GeeksforGeeks выступили с инициативой снизить нагрузку на учащихся, которые вынуждены собирать все важные формулы, используемые в их учебной программе для 8-го класса, в одном месте. Математические формулы класса 8 от GeeksforGeeks разработаны таким образом, что они охватывают все важные формулы и свойства, используемые в каждой главе, вкратце. Это помогает студенту пересматривать и учиться легко и быстро. Для ученика 8-го класса может быть трудно понять повышение уровня сложности по сравнению с предыдущими уроками. Кроме того, с такой дисциплиной, как математика, вы должны всегда оставаться в курсе. Эта тема очень важна как в учебе, так и в личной жизни. Чтобы получить высокий уровень знаний, вы должны сначала освоить математические формулы для 8-го класса, прежде чем переходить к их применению к своим вопросам.

Вам может быть интересно, где можно получить точные математические формулы для 8-го класса для определенного набора вопросов. Вот почему GeeksforGeeks предоставляет вам эту информацию прямо сейчас. Ниже перечислены все математические формулы для 8-го класса на одной странице для вас, чтобы вам не пришлось искать другую!

Глава 1: Рациональные числа

В арифметике различные виды чисел включают целые числа, действительные числа, натуральные числа, целые числа, дробные числа, простые числа и составные числа. Различные типы рациональных чисел рассматриваются в математических формулах «Рациональные числа 8 класса», которые помогут учащимся изучить понятия рациональных чисел, их уникальность среди остальных чисел и их использование в высшей арифметике.

Любое число, которое может быть выражено как a ⁄ b, где b ≠ 0 — рациональные числа. Ниже приведены формулы и свойства, используемые для рациональных чисел:

Additive Identity: (a ⁄ b + 0) = (a ⁄ b).
Multiplicative Identity: (a ⁄ b) × 1 = (a/b).
Multiplicative Inverse: (a ⁄ b) × (b/a) = 1.
Additive Inverse: a + (-a) = (-a) + a = 0.
Closure Property – Addition: For any two rational numbers a and b, a + b is also a rational number.
Closure Property – Subtraction: For any two rational numbers a and b, a – b is also a rational number.
Closure Property – Multiplication: For any two rational numbers a and b, a × b is also a rational number.
Closure Property – Division: Rational numbers are not closed under division.
Commutative Property – Addition: For any rational numbers a and b, a + b = b + a.
Commutative Property – Subtraction: For any rational numbers a and b, a – b ≠ b – a.
Commutative Property – Multiplication: For any rational numbers a and b, (a x b) = (b x a).
Commutative Property – Division: For any rational numbers a and b, (a/b) ≠ (b/a).
Associative Property – Addition: For any rational numbers a, b, and c, (a + b) + c = a + (b + c).
Associative Property – Subtraction: For any rational numbers a, b, and c, (a – b) – c ≠ a – (b – c)
Associative Property – Multiplication: For any rational number a, b, and c, (a x b) x c = a x (b x c).
Associative Property – Division: For any rational numbers a, b, and c, (a / b) / c ≠ a / (b / c).
Distributive Property: For any three rational numbers a, b and c, a × ( b + c ) = (a × b) +( a × c).

Глава 2: Линейные уравнения с одной переменной

Линейное уравнение с одной переменной — это выражение, которое обозначается как ax+b = 0, где a и b — любые два целых числа, а x — переменная и состоит только из одного решения. Как следует из названия, линейное уравнение с одной переменной, уравнение этого типа имеет только одно решение. Существует четыре различных способа решения линейных уравнений с одной переменной:

Linear equations of the type that has a Linear expression on one side and numbers on the other side:
Transpose the number to the side where all numbers are present, maintaining the sign of the number.
Solve (Add/subtract) the equation on both sides to get it as simpler as possible, to obtain the value of the variable.
Linear equations of the type that has variables on both sides:
Transpose both the number and the variable to get each on the same side maintaining the sign of the number.
Solve (Add/subtract) the equation on both sides to get it as simpler as possible, to obtain the value of the variable.
Linear equations of the type that has a number in the denominator and variables on both sides:
LCMof the denominator on both sides should be taken
Then multiply the LCM on both sides so that the equation is deduced to a simple form and then solve it like the Linear equations of the type that has variables on both sides to obtain the value of the variable.
Linear equations of the type that are Reducible to the Linear form:
Such equations are of the form: (x + a / x + b) = c / d.
Therefore, these equations are solved by the cross-multiplying numerator and denominator to get it into a simple linear form like (x + a) d = c (x + b). This is a Linear equation of the type that has variables on both sides which can be solved further to obtain the value of the variable.

Глава 3: Понимание четырехугольников

Четырехугольник представляет собой замкнутый объект с четырьмя сторонами, четырьмя вершинами и четырьмя углами, который является своего рода многоугольником. Он состоит из четырех неколлинеарных точек, соединенных вместе. Сумма внутренних углов четырехугольника всегда равна 360 градусов. Давайте теперь разберемся со следующими важными замечаниями о формулах, обсуждаемых в этой главе:

Classification of Polygons: The polygons are classified according to the number of sides (or vertices) they have, as mentioned below:
Angle Sum Property: This property states that the sum of all angles of a quadrilateral is 360°.
Sum of the Measures of the Exterior Angles of a Polygon: Regardless of the number of sides in the polygons, the total of the measurements of the exterior angles equals 360 degrees.
Types of Quadrilateral: The measurements of the angles and lengths of the sides of quadrilaterals are used to classify them. The total space occupied by the figure is the quadrilateral’s area. The perimeter of a two-dimensional form is the entire distance covered by its boundaries. The following are the properties, area, and perimeter equations for the various quadrilaterals:

Глава 4: Практическая геометрия

Эта глава посвящена построению четырехугольника. Четырехугольник — геометрическая фигура, представляющая собой четырехугольник с четырьмя углами и двумя диагоналями. Например, квадрат, прямоугольник, ромб и т. д.

To construct a quadrilateral uniquely, five measurements are required.
A quadrilateral can be constructed uniquely if the lengths of its four sides and a diagonal are given.
A quadrilateral can be constructed uniquely if its two diagonals and three sides are known.
A quadrilateral can be constructed uniquely if its two adjacent sides and three angles are known.
A quadrilateral can be constructed uniquely if its three sides and two included angles are given.

Глава 5: Обработка данных

Обработка данных относится к процессу сбора, организации и представления любой необработанной информации таким образом, чтобы она была полезной для других, например, в виде графиков или диаграмм и т. д. Любая проблема, которую нам нужно изучить, требует сбора данных, которые затем должны быть показаны. таким образом, чтобы обеспечить четкое визуальное представление специфики проблемы, а также изучить альтернативные решения. Ниже приведен список формул и важных терминов, обсуждаемых в этой главе:

Data: Data is a systematic record of facts or distinct values of a quantity.
Arranging data in an order to study their salient features is called the presentation of data.
Frequency: It is defined as the number of times a particular entity occurs. A table is used to represent the frequency of different entities in the given data is termed a Frequency distribution table.
If the data present in the frequency distribution table is in the form of groups of the given values then it is called Grouped Frequency distribution table. This group data of the given values are grouped and called Class intervals. However, the number of values that each class contains is called the class size or width.
The lower value in the class interval is called the Lower class limit.
The upper value in the class interval is called the Upper-class limit.
Graphical representation of data:
Pictograph: Pictorial representation of data using symbols.
Bar Graph: A display of information using bars of uniform width, their heights proportional to the respective values.
Double Bar Graph: A bar graph showing two sets of data simultaneously. It is useful for the comparison of the data.
Histogram: a graphical representation of frequency distribution in the form of rectangles with class intervals as bases and heights proportional to corresponding frequencies such that there is no gap between any successive rectangles.
Circle Graph or Pie Chart: A pictorial representation of the numerical data in the form of sectors of a circle such that area of each sector is proportional to the magnitude of the data represented by the sector.
Probability= Number of outcomes making up an event / Total number of outcomes, if the outcomes are equally likely.

Глава 6: Квадраты и квадратные корни

Квадратное число — это натуральное число (пусть q), которое может быть выражено как p ² , где n также является натуральным числом. например, 4 является квадратным числом, поскольку 4 = 2 ² . Квадратный корень — это операция, обратная возведению в квадрат.

If q is a natural number such that p²= q then,
√q = p and –p
Some of the important properties of Squares and Square roots are listed below:
There are 2n non-perfect square numbers between n² and (n+1)².
If a perfect square is of n digits then its square root will have n/2 digits if n is even, or (n+1)/2, if n is odd.

Глава 7: Кубы и кубические корни

Обратной формулой куба является формула кубического корня. Мы умножаем число три раза, чтобы получить его куб в формуле куба, поэтому в этой ситуации мы разбиваем число, которое нужно записать в виде произведения трех равных чисел, и получаем кубический корень.

Consider any number m, which can be expressed as the product of any number three times as m = n × n × n = n³. n³ is so known as the cube of n and m is now known as cube root of n:
³√m = n
Method of finding a Cube Root: There are two different ways to determine the cube root of a number, that are:
Prime Factorization Method
Estimation Method

Глава 8: Сравнение величин

Приведенные здесь формулы сравнения величин для класса 8 были тщательно подготовлены экспертами, чтобы помочь учащимся понять все концепции и формулы, используемые в главе 8. Приведенные ниже формулы по некоторым важным темам, таким как различные налоги, такие как налог с продаж, налог на добавленную стоимость, Налог на товары и услуги, прибыль и убытки, процентное изменение и скидки предназначены для того, чтобы помочь учащимся внести своевременные изменения и получить более высокие баллы на экзаменах.

The following formulas will help students understand the basics of simple arithmetic involving money as,
Profit = Selling price – Cost price
Loss = Cost price – Selling price
If SP > CP , then it is profit.
If SP = CP , then it is neither profit nor loss.
If CP > SP , then it is loss.
Discount = Marked Price – Sale Price
Discount % = Discount × 100 / MP
Profit Percentage = (Profit / Cost Price) × 100
Loss Percentage = (Loss / Cost Price) × 100
Percentage Increased = Change in Value / Original Value
Simple Interest = (Principal × Rate × Time)/100
Compound Interest Formula = Amount – Principal
Sales tax or VAT = Tax of Selling price = (Cost Price × Rate of Sales Tax) / 100
Billing Amount = Selling price + VAT

Глава 9: Алгебраические выражения и тождества

Алгебраические выражения и алгебраические тождества представлены для 8 класса, это сложная глава, в которой вы должны запомнить все уравнения и правильно их применять. GeeksforGeeks упрощает им задачу, размещая все формулы на одной странице. Алгебраические формулы и алгебраические тождества для класса 8, как мы думаем, приведены здесь.

These formulae will help students in learning fast and provide easy access to information when needed.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a + b) (a – b) = a² – b²
(x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab
(x + a) (x – b) = x² + (a – b)x – ab
(x – a) (x + b) = x² + (b – a)x – ab
(x – a) (x – b) = x² – (a + b)x + ab
(a + b)3 = a³ + b³ + 3ab(a + b)
(a – b)3 = a³ – b³ – 3ab(a – b)

Глава 10: Визуализация объемных форм

Объемная геометрия жизненно важна в повседневной жизни, поскольку помогает нам понять множество форм, с которыми мы сталкиваемся, и их свойства. Всестороннее понимание визуализации твердотельных объектов может помочь учащимся освоить более сложные принципы геометрии и решать реальные ситуации. В результате очень важно понимать многочисленные формулы, связанные с различными твердыми телами, которые помогут в повседневных вычислениях.

Let’s learn about some important concepts and formulas used in this chapter
Solidsare defined by their form and the fact that they take up space. The faces of a solid are polygonal sections that make up the solid.
Polyhedron: A polyhedron is a solid object bordered by polygons (platonic solid).
Euler’s formula: A polyhedron has a certain number of planar faces, edges, and vertices that meet the formula:
F + V – E = 2
where F is the number of faces. The letters V and E stand for the number of vertices and edges, respectively.
Prism: A prism is solid with parallelogram side faces and congruent parallel polygon ends (or bases). Two triangular faces, three rectangular faces, six vertices, and nine edges make up a prism.
Pyramid: A pyramid is a polyhedron with a base that is a polygon with any number of sides and additional faces that are triangles with the same vertex. One square face, four triangular faces, five vertices, and eight edges make up a pyramid.
Tetrahedron: If the base of a pyramid is a triangle, it is termed a triangular pyramid. The tetrahedron is another name for a triangular pyramid.
Dimensions of a Solid: A solid item has three dimensions (measurements) – length, width, and height. Plane forms have two dimensions (measurements): length and breadth (or depth). As a result, they are referred to as two-dimensional and three-dimensional forms, respectively. They are referred to as two-dimensional and three-dimensional figures, respectively. Triangles, rectangles, and circles are two-dimensional forms, whereas cubes, cylinders, cones, and spheres are three-dimensional figures. From various angles, three-dimensional things appear to be different. As a result, they may be drawn from many angles, such as the top view, front view, and side view.
Mapping: A map is not the same as a photograph. A map shows where one thing or place is in relation to other objects or locations. Symbols are used to represent various items and locations. On a map, there is no reference or perspective. Perspective, on the other hand, is critical when creating an image. Furthermore, maps have a scale that is set for each map.
Faces, Vertices, and Edges: Faces are polygonal sections that make up a polyhedron. Edges are the line segments that connect the faces of a polyhedron. The vertices of a polyhedron are the spots where the edges cross. Three or more edges meet at a vertex of a polyhedron.

Глава 11: Измерение

Формулы для MensurationClass 8 Chapter 11 перечислены здесь. Здесь вы найдете ресурсы для измерения, основанные на программе CBSE (2021-2022) и самом последнем образце экзамена. Работайте с формулами и примерами, чтобы лучше понять идею измерения. Измерение — это процесс вычисления площади и периметра различных геометрических форм, таких как треугольники, трапеции, прямоугольники и т. д.

Perimeter: The length of the outline of any simple closed figure is known as the perimeter.
Perimeter of a rectangle = 2 × (l + b) units.
Perimeter of a square = 4 × side unit.
Perimeter of a circle is called its circumference. Therefore, the circumference of a circle is 2 π r.
Perimeter of a Parallelogram= 2(Base + Height)
Perimeter of a Triangle= a + b + c (where a, b and c are the side lengths)
Perimeter of a Trapezium = a + b + c + d (where a, b, c, d are the sides of a trapezoid)
Perimeter of a Kite= 2a + 2b (where a is the length of the first pair and b is the length of the second pair)
Perimeter of a Rhombus= 4 × side
Perimeter of a Hexagon= 6 × side
Curved Surface Area of a Cone = 1 /2 × l × 2πr = πrl, where ‘r’ is its base radius and ‘l’ its slant height. ‘l’ = √(r² + h²)
Volume of a Cuboid= Base Area × Height = Length × Breadth × Height
Volume of a Cone = (1 / 3 )πr²h
Volume of a Sphere = (4/3) π r³
Volume of a Hemisphere = (2/3) πr³

Глава 12: Экспоненты и силы

Показатель степени представляет значение, которое относится к тому, сколько раз число умножается само на себя. Например, 5 × 5 × 5 можно записать как 5 ³ . Даже очень маленькие числа могут быть выражены в виде отрицательных показателей. Вот список некоторых законов, связанных с экспонентами:

Law of Product: a^m × aⁿ = a^{m + n}
Law of Quotient: a^m/aⁿ = am – n
Law of Zero Exponent: a⁰= 1
Law of Negative Exponent: a^-m = 1/a^m
Law of Power of a Power: (a^m)n = a^mn
Law of Power of a Product: (ab)ⁿ= a^mb^m
Law of Power of a Quotient: (a/b)^m = a^m/b^m

Глава 13: Прямые и обратные пропорции

Чтобы указать, как количества и суммы связаны друг с другом, используются прямая и обратная пропорции. Прямо пропорциональные и обратно пропорциональные — другие термины, используемые для их описания.

Proportions: The proportionality is represented by the symbol ∝. For example, if we claim that p is proportional to q, this implies p ∝ q and if we say that p is inversely proportional to q, then this implies “p∝1/q.” Some proportionality rules govern these relations. Now, the value of ‘p’ changes in terms of ‘q’ in both circumstances, or when the value of ‘q’ changes, the value of ‘p’ changes as well. A proportionality constant is equal to the change in both values. Essentially, a proportion indicates that two ratios, such as p/q and r/s, are equivalent, i.e., p/q = r/s.
Direct Proportion or Variation: Any two quantities a and b can be said to be in direct proportion if they variate (increase or decrease) together with each other in such a way that the ratio of their corresponding values remains the same. This implies that, If a/b = k, where k is any positive number, then a and b are said to be in direct proportion. e.g. If the number of things bought increases, then the total cost of purchase also increases.
Quantities that increase or decrease in parallel do not necessarily have to be in direct proportion, and inverse proportion does not always have to be in direct proportion.
Inverse Proportion: Two quantities x and y are said to be in inverse proportionif an increase in x causes a proportional decrease in y (and vice-versa) in such a manner that the product of their corresponding values remains constant. That is, if xy = k, then x and y are said to vary inversely. e.g. If the number of people increases, the time taken to finish the food decreases. Or If the speed will increase the time required to cover a given distance will decrease.

Глава 14: Факторизация

Факторизация — один из наиболее распространенных способов приведения алгебраического или квадратичного уравнения к его простейшей форме. В результате нужно быть знакомым с формулами факторизации, чтобы разложить сложное уравнение. Ниже приведен список различных формул и свойств, которые полезны для решения задач полиномов, тригонометрии, алгебры и квадратных уравнений.

Factorisation: Factorization is the process of expressing an algebraic equation as a product of its components. Numbers, variables, or algebraic expressions can all be used as factors.
Irreducible factor: A component that cannot be stated further as a product of factors is called irreducible.
Method to do Factorisation: The common factor approach is a method for factoring an equation in a methodical way. There are three steps to solve it:
Each term of the statement should be written as a product of irreducible elements.
Look for and separate the components that are similar.
In each term, combine the remaining elements in line with the distributive law.
All of the terms in a given expression may not share a common factor at times, but the terms can be grouped so that all of the terms in each group do. When we do this, a common factor emerges across all of the groups, resulting in the necessary factorization of the expression. This is the regrouping approach.
When factoring by regrouping, keep in mind that any regrouping (i.e. rearrangement) of the terms in the provided equation may or may not result in factorization. We must observe the language and use trial and error to arrive at the desired regrouping.
A number of factorable expressions are of the form or may be factored into the form: a² + 2ab + b², a² – 2ab + b², a² – b² and x² + (a + b)x + ab. These expressions can be easily factorized using below mentioned identities as,
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b)²
a² – b² = (a + b) (a – b)
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
Remember that the numerical term yields ab in formulations with factors of the kind (x + a) (x + b). Its factors, a and b, should be chosen in such a way that their sum, with signs taken into account, equals the x coefficient.
When dividing a polynomial by a monomial, we can divide the polynomial either by dividing each term by the monomial or by using the common factor technique.
We can’t divide each term in the dividend polynomial by the divisor polynomial when dividing a polynomial by another polynomial. Instead, both polynomials are factored and their common factors are cancelled.
We have divisions of algebraic expressions in the case of divisions of algebraic expressions that we discussed in this chapter.
Dividend = Divisor × Quotient
or
Dividend = Divisor × Quotient + Remainder

Глава 15: Введение в графики

Использование графических инструментов для отображения данных особенно эффективно при организации и понимании информации. Ниже приведены некоторые примеры графических методов:

When comparing categories, the bar graph is the most appropriate tool.
Pie charts are the best way to compare sections of a whole.
A histogrammay be used to make data simpler to interpret when it is presented in intervals.
A line graph will be beneficial in the situation of data that changes constantly over time.
The x-coordinate and y-coordinate are required to fix a point on the graph sheet.
A graph depicts the relationship between a dependent variable and an independent variable.

Глава 16: Игра с числами

Говорят, что число имеет общую форму, если оно может быть представлено как сумма произведений его цифр и связанных с ними разрядов. Числа можно записывать разными способами. В результате ab = 10a +b будет выражаться двузначным числом. При решении головоломок или игре с числами полезна общая форма чисел. Когда числа изложены в общей форме, могут быть указаны причины, по которым они делятся на 10, 5, 2, 9 или 3.

Rules for Divisibility:
Divisibility by 2: A number is divisible by 2 when its one’s digit is 0, 2, 4, 6 or 8. e.g. 100a +10b +c here 100a and 10b are divisible by 2 because 100 and 10 are divisible by 2. Thus given number is divisible by 2 only when a = 0, 2, 4, 6 or 8.
Divisibility by 3: A number is divisible by 3 when the sum of its digits is divisible by 3. e.g. 61785 the sum of digits = 6+1+7+8+5 = 27 which is divisible by 3. Therefore, 61785 is divisible 3.
Divisibility by 4: A number is divisible by 4 when the number formed by its last two digits is divisible by 4. e.g.: 6216, 548, etc.
Divisibility by 5: A number is divisible by 5 when its ones digit is 0 or 5. e.g.: 645, 540 etc.
Divisibility by 6: A number is divisible by 6 when it is divisible by both 2 and 3. e.g.: 156, 5230, etc.
Divisibility by 9:A number is divisible by 9 when the sum of its digits is divisible by 9. e.g.: consider a number 215847. Sum of digits = 2+1+5+8+4+7 = 27 which is divisible by 9. Therefore, 215847 is divisible by 9.
Divisibility by 10:A number is divisible by 10 when its one digit is 0. e.g.: 540, 890, etc.
Divisibility by 11: A number is divisible by 11 when the difference of the sum of its digits in odd places and the sum of its digits in even places is either o or a multiple of 11.