Линейное уравнение с двумя переменными
Линейное уравнение определяется как уравнение с максимальной степенью, равной только единице, например, ax = b может называться линейным уравнением, а когда появляется линейное уравнение с двумя переменными, это означает, что все уравнение содержит 2 переменные. Следовательно, линейное уравнение с двумя переменными можно записать в общем виде: ax + by + c = 0, где a, b, c — константы, а x, y — переменные.
Линейное уравнение с двумя переменными
Линейное уравнение с двумя переменными задается формулой
Ах + Ву + С = 0
Где A, B и C — постоянные действительные числа, а A и B никогда не равны нулю.
Давайте посмотрим, как сформулировать такое уравнение на примере из реальной жизни.
Вопрос: В Нагпуре был сыгран однодневный международный матч между Австралией и Индией. Два индийских игрока с битой набрали в общей сложности 176 пробежек. Выразите эту информацию в виде уравнения.
Отвечать:
We know that two batsmen scored 176 runs, but we do not know how much each batsman scored. Let the runs scored by each batsman be “x” and “y”.
So, x + y = 176.
This is the required linear equation in two variables.
Линейные уравнения с одной переменной также можно представить в виде линейного уравнения с двумя переменными. Например: x = 3, это также можно переписать как
х.1 + у.0 = 3
Решения линейного уравнения с двумя переменными
Мы видели такие уравнения, как x = 5, y = 10. Они имеют только одно решение. Но когда речь идет о линейных уравнениях с двумя переменными. Существует более одного решения,
Например: Предположим, уравнение с двумя переменными,
х + 2у = 4
Чтобы найти решения этого уравнения, нам нужно знать значения x и y, которые удовлетворяют этому уравнению. Здесь x = 2 и y = 1 — решение, проверим. Подставьте значения x и y в приведенное выше уравнение.
х + 2у = 4
⇒ (2) + 2(1) = 4
⇒ 2 + 2 = 4
Следовательно, x = 2 и y = 1 является решением этого уравнения. Точно так же мы можем проверить, что x = 2 и y = 1 также являются решением. Мы можем сделать больше подобных решений, просто приняв значение x, а затем подставив уравнение. Например: предположим, что x = 4. Теперь подставьте это в уравнение, уравнение сводится к уравнению с одной переменной.
4 + 2г = 4
⇒2у = 0
⇒ у = 0
Итак, если мы будем продолжать принимать разные значения x, мы сможем найти бесконечно много решений этих уравнений.
Таким образом, можно сказать, что линейные уравнения с двумя переменными имеют бесконечно много решений.
Вопрос 1: Найдите три различных решения уравнения y + 5x = 10.
Решение:
To find different solutions, we simply have to assume a value of x or y. Plug it in the equation and reduce it in a single variable equation. This way we can find the value of other variable.
Let’s say x = 2. Plug it in the equation,
y + 5(2) = 10
⇒y + 10 = 10
⇒y = 0
So, (2,0) is a solution.
Now let’s say x = 3 and plug it in the equation,
y + 5(3) = 10
⇒ y + 15 = 10
⇒ y = 10 – 15
⇒ y = -5
The solution comes out to be (3, -5)
For the last required solution assume x = 0 and plug it in,
y + 5(0) = 10
⇒ y = 10
The solution comes out to be (2,10)
Thus, the three solutions are :- (2,0); (3,-5) and (2,10).
График линейного уравнения с двумя переменными
До сих пор мы видели решения линейных уравнений. Существует бесконечно много решений линейного уравнения с двумя переменными. Рассмотрим их геометрическую интерпретацию. Мы можем показать все решения в координатной плоскости и посмотреть, как это выглядит. Давайте посмотрим, как это сделать.
Возьмем пример, x + 2y = 6.
Его решения можно оформить в виде таблицы, приведенной ниже.
| Икс | 0 | два | 4 | 6 |
| Д | 3 | два | 1 | 0 |
Построим график (0,3); (2,2); (4,1) и (6,0) на графике.
Обратите внимание, что все эти точки при соединении образуют прямую линию. Каждая точка на этой прямой удовлетворяет уравнению, и каждое решение этого уравнения находится на прямой. Это называется графиком линейного уравнения. Для построения графика линейного уравнения требуется как минимум два решения уравнения.
Графическое линейное уравнение по точкам:
- Найдите три точки, координаты которых являются решениями уравнения.
- Нанесите точки на график.
- Проведите линию через все три точки.
Возьмем пример,
Вопрос: Постройте уравнение прямой 2x + y = 4, используя метод, упомянутый выше.
Решение:
First let’s find three points which satisfy this equation. This is done by the method previously discussed
Let’s put x = 0, then y comes out to be y = 4. So (0,4) is one point.
Putting y = 0, we get, x = 2. So (2,0) is another point.
Putting x = 1, we get y = 2. So (1,2) is the third point.
x y 0 4 2 0 1 2 Let’s plot the points given in the table and join them to form a line.
The figure represents our required line.
Уравнение прямых, параллельных оси x и оси y
Рассмотрим уравнение x = 3.
Теперь, когда это уравнение рассматривается как уравнение с одной переменной, оно имеет только решение x = 3. Но когда мы рассматриваем его как уравнение с двумя переменными
x + 0.y = 3. Это уравнение имеет бесконечно много решений. Построим графики таких уравнений.
Вопрос 1: Постройте уравнение x = 4.
Решение:
Let’s find the solution for this equation
x + 0.y = 4
x = 4 satisfies the equation, and we can put any value in place of y, it won’t affect the solution. Thus, the solutions to this equation look like this,
x 4 4 4 y 0 1 2 Let’s plot this points on graph and get the line.
Вопрос 2: Постройте график y = 3.
Решение:
Let’s find the solution for this equation
0.x + y = 3
y = 3 satisfies the equation, and we can put any value in place of y, it won’t affect the solution. Thus, the solutions to this equation look like this,
x 0 1 2 y 3 3 3 Let’s plot this points on graph and get the line.
Вопрос 3: Стоимость проезда на такси в Бангалоре следующая: за первый километр она составляет 10 рупий, а последующее расстояние измеряется в 5 рупий за километр. Составьте линейное уравнение для этой задачи и начертите его график.
Решение:
Let the total distance traveled by “x” Km and the total fare be “y”.
y = 10 + (x – 1)5
⇒ y= 10 + 5x -5
⇒ y = 5x + 5
Now let’s find the solutions to this equation and plot it.
x -1 0 2 y 0 5 15 The table represents three solutions of the equation. Let’s plot these points on the graph and join them to make a straight line.
Вопрос 4: Рахул и Рави внесли в общей сложности 100 рупий в Фонд помощи Covid, созданный правительством. Составьте уравнение, удовлетворяющее данным, и постройте его график.
Отвечать:
Let the contribution of Rahul be Rs. x and that of Ravi be Rs. y.
Then equation can be formed as,
x + y = 100
Again, let’s find some solutions to this equation.
x 20 40 60 y 80 60 40 Plotting the points on the graph.
