Квадратные уравнения

Многочлены бывают разных типов, из которых степени два многочлена имеют вид ax ² + bx + c, a ≠ 0. Приравнивая этот многочлен нулю, мы получаем квадратное уравнение. Подобные уравнения встречаются во многих реальных жизненных ситуациях. Давайте изучим эти виды уравнений, как их решить и как сформулировать их в реальных жизненных ситуациях.

Например, школьный совет решает сделать футбольное поле для своих учеников. Решили, что площадь футбольного поля составит 1000 м ² . Тренер инструктирует, что длина площадки должна быть на 50 метров больше, чем удвоенная ширина площадки. Нам нужно найти, какова должна быть длина и ширина земли.

Допустим, ширина земли равна «x». Тогда длина земли будет «2x + 50». Мы знаем, что площадь должна быть 1000м ² . Так,

х(2х + 50) = 1000

⇒ 2x ² + 50x = 1000

⇒ 2х2 ⁺ 50х – 1000 = 0

Здесь мы получаем квадратное уравнение. Определим квадратное уравнение формально.

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение с переменной «х» — это уравнение вида

ах ² + Ьх + с = 0

Где a, b, c — действительные числа и константы, а a ≠ 0.

Пример: 4x ² – 5x = 0, 5x ² + 16x + 5 = 0

In general, any second-degree polynomial P(x), when put like P(x) = 0 represents a quadratic equation. 

Вопрос 1: У Рахула и Рави вместе 45 конфет. Оба потеряли по 5 конфет. Произведение количества конфет, которые есть у обоих сейчас, равно 124. Нас просят узнать, сколько конфет было у каждого в начале. Составьте квадратное уравнение для этой задачи.

Решение:

Let’s say Rahul had “x” candies. Then Ravi must have “45 – x” candies because both of them had 45 candies. 

Now after losing the candies, we are given that product of the number of candies they have is 124. That is, 

x(45 – x) = 124

⇒ 45x – x² = 124 

⇒ 0 = x² – 45x + 124

Вопрос 2: Проверьте, является ли следующее уравнение квадратным уравнением или нет.

(х – 2)(х + 1) = (х – 1)(х + 3)

Решение:

We know that a quadratic equation must be of degree 2. 

Let’s simplify and check the given equation. 

 (x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3)

⇒ x² + x – 2x – 2 = x² + 3x – x – 3

⇒ x² – x – 2 = x² + 2x – 3

⇒ -x – 2 = 2x – 3 

⇒ -3x + 1 = 0  

This equation is of degree 1. Thus, it cannot be a quadratic equation. 

Решение квадратного уравнения

Предположим, квадратное уравнение P(x) = 0. Точки, удовлетворяющие этому уравнению, называются решениями или нулями этого квадратного уравнения. Существует три типа методов нахождения решения квадратного уравнения:

1. Метод факторизации
2. Завершение метода квадратов
3. Шри Дхарачарья или Квадратичная формула

Давайте рассмотрим все три метода один за другим на примерах.

Метод факторизации

Квадратное уравнение можно рассматривать как множитель двух членов. Как и ax ² + bx + c = 0, можно записать как (x – x ₁ )(x – x ₂ ) = 0, где x ₁ и x ₂ являются корнями квадратного уравнения.

Шаги для решения:

1. Найдите два числа, произведение чисел которых равно «ac», а сумма равна «b».
2. Затем запишите коэффициент x как сумму этих двух чисел и разделите их так, чтобы получить два члена для x.
3. Разложите первые два члена как группу, а последние два члена как еще одну группу.
4. Возьмем из них общие множители и приравняем два выражения к нулю после взятия общих множителей и перестановки уравнения получим корни.

Вопрос 1: Найдите решения данного квадратного уравнения методом факторизации.

2x ² - 3x + 1 = 0

Решение:

2x² – 3x + 1 = 0

⇒ 2x² – 2x – x + 1 = 0

⇒ 2x(x – 1) – 1(x -1) = 0

⇒ (2x – 1)(x-1) = 0

Now this equation will be zero when either of these two terms of both of these terms are zero

So, putting 2x – 1 = 0, we get x = 

Similarly, x – 1 = 0, we get x = 1 

Thus, we get two roots x = 1 and 

Вопрос 2: Найдите корни следующего квадратного уравнения, используя тот же метод.

2 х ² - х - 6 = 0

Решение:

2x² – x – 6 = 0

⇒ 2x² – 4x. +3x – 6 = 0

⇒ 2x (x – 2) +3(x – 2) = 0 

⇒ (2x + 3) (x – 2) = 0 

Now, 

2x + 3 = 0 

x = 

x – 2 = 0 

x = 2

Thus, this equation has roots x = 2 and 

Завершение метода квадратов

Любое уравнение ax ² + bx + c = 0 можно преобразовать в виде (x + m) ² – n ² = 0. После этого извлеките квадратные корни и получите корни уравнения. Завершение квадрата — это просто способ перенастроить заданное квадратное уравнение таким образом, чтобы оно представляло собой полные квадраты. Давайте посмотрим на это на примере.

Вопрос 1: Найдите корень данного уравнения методом полного квадрата.

х ² + 4 х - 5 = 0

Решение:

We are given, x² + 4x – 5 = 0 

To solve it by completing the square method, we need to bring it in the above mentioned form. 

x² + 4x – 5 = 0

⇒ x² + 4x + 4 – 9 = 0

⇒ (x + 2)² – 3² = 0

⇒ (x + 2)² = 3²

Taking square root both sides, 

x + 2 = 3 and x + 2 = -3 

This gives us x = 1, -5

Вопрос 2: Найдите корень данного уравнения методом полного квадрата.

х ² + 6 х + 9 = 0

Решение:

Given, x² + 6x + 9 = 0

x² + 6x + 9 = 0

⇒ x² + 2(3x) + 3² = 0

⇒ (x + 3)² = 0 

Taking square root, 

x + 3 = 0 

x = – 3

Thus, this equation has only one root with multiplicity of 2. 

x = -3,-3

Шри Дхарачарья или квадратичная формула

Эта формула говорит,

For a quadratic equation in general form, 

ax² + bx + c = 0

If b² – 4ac > 0, 

Then roots are given by 

Вопрос 1: Найдите корни уравнения 3x ² – 5x + 2 = 0.

Решение:

For finding out the roots using Shree Dharacharya formula, 

We need to check If b² – 4ac > 0,

In this particular equation, a = 3, b = -5 and c = 2. 

So, b² – 4ac 

⇒ (-5)² – 4(3)(2) 

⇒ 25 – 24 

⇒ 1 > 0 

Thus, roots are possible, 

Now let’s calculate the roots by plugging in the values in the formula mentioned above. 

Вопрос 2: Найдите корни уравнения

Решение:

We need to first simplify this equation and bring it to the quadratic form so that we can apply Dharacharya Formula. 

 

Now let’s check if b² – 4ac > 0 first. 

Here a = 1, b = -3 and c = 1

b² – 4ac 

⇒ 9. -4(1)(1) 

⇒ 5 > 0 

So we can apply the formula now,