Кусок конуса

В нашей повседневной жизни мы сталкиваемся со многими объектами, где нам нужно найти их объем и площадь поверхности. Например, нам может понадобиться рассчитать, сколько воды может вместить бак. Для этого нам нужно знать форму резервуара и, кроме того, нам нужно знать, как рассчитать его объем. Иногда некоторые тела представляют собой комбинацию различных стандартных форм.

На рисунке выше показаны некоторые основные твердые формы. Объекты обычно состоят из комбинации этих форм. Но иногда мы можем сделать другую форму из твердого тела, удалив его часть. Например, Фрустум. В этой форме нас интересует удаление части конуса. Давайте подробно изучим усеченный конус.

Кусочек

Предположим, что это правильный круглый конус, и удалим из него часть. Разрежем конус плоскостью, параллельной основанию.

Форма, которая остается после срезания маленького верхнего конуса, называется усеченным конусом. Мы все часто видели эту форму в нашей повседневной жизни, наши стаканы для питья имеют такую форму. Итак, усеченный конус можно определить как

If a right circular cone is cut off by a plane parallel to it’s base, the shape of the portion between the cutting plane and the base plane is called frustum of that cone. 

Давайте посмотрим на объем и площадь поверхности этой фигуры.

Объем фрагмента

Определение усеченного конуса, данное выше, гласит, что усеченный конус представляет собой срезанную часть конуса. Итак, чтобы вычислить объем усеченного конуса, нам просто нужно вычислить разницу между объемом большего и меньшего конуса.

На приведенном выше рисунке предположим,

1. Общая высота конуса должна быть «H + h»
2. Общая высота наклона должна быть «l1 + l2».
3. Радиус большего конуса = R
4. Радиус срезанного конуса = r

Общий объем конуса V ₁ =

Объем меньшего конуса, который был удален, V ₂ =

Итак, теперь давайте посчитаем объем усеченного конуса (V)

В = В ₁ – В ₂

знак равно –

знак равно

Теперь, используя формулу касательной функции в тригонометрии, мы получаем,

Подставьте это значение H+h в формулу Volume.

В =

Снова воспользовавшись свойством подобного треугольника, найдем значение h.

Подставив это значение h в формулу, получим

Площадь поверхности усеченного конуса

Как и в случае с объемом, площадь поверхности также будет равна разнице между площадями поверхности большего и меньшего конусов.

Площадь искривленной поверхности большего конуса = π Rl

Площадь искривленной поверхности меньшего конуса = π rl'

Разница между площадями поверхности = π (Rl – rl')

На приведенном выше рисунке треугольники OAB и OCD подобны. Так,

Вычислим окружности оснований,

C = 2π r и C' = 2π r'

Итак, общая площадь криволинейной поверхности усеченного конуса А,

Здесь L — наклонная высота, определяемая выражением L =

Общая площадь поверхности усеченного конуса = Общая площадь криволинейной поверхности усеченного конуса A + Площадь обоих оснований

Давайте рассмотрим некоторые проблемы, связанные с этими формулами, которые мы только что вывели.

Примеры проблем

Вопрос 1: Найдите объем усеченного конуса высотой 20 см и радиусами обоих оснований 5 см и 8 см.

Решение:

Using the formula studied above, 

We are given, H = 20cm, r = 5cm and R = 8cm. Plugging these values in the equation. 

Вопрос 2: Найдите площадь поверхности и общую площадь поверхности усеченного конуса высотой 10 см и радиусами обоих оснований 4 см и 8 см.

Решение:

We know the formula for surface area and total surface area of the frustum. We need to plug in the required values. 

Curved Surface area of the frustum = 

Where L

Given, H = 10cm, r = 4cm and r’ = 8cm 

Calculating the value of L, L = 

Curved Surface area of the frustum =

Total Surface Area = Curved surface are of the frustum + Area of both the bases  

                             = 

Вопрос 3: Допустим, у нас есть открытое металлическое ведро, высота которого 50 см, а радиусы основания 10 см и 20 см. Найдите площадь металлического листа, из которого изготовлено ведро.

Решение:

Bucket is in the form of frustum which closed from the bottom. We need to calculate the total surface area of this frustum. 

Given : H = 50cm, r₁ = 10cm and r₂ = 20cm. 

Curved surface area of the frustum S = 

Let’s calculate L first, 

Putting this value in the surface area of the formula, 

This is the curved surface. To find the total area (A) of the metal sheet used, 

A = S + Area of the bottom 

Вопрос 4: Найдите выражение объема усеченного конуса, если его высота 5y см, радиусы y и 2y.

Решение:

Using the formula studied above, 

We are given, H = 5y, r = y and R = 2y. Plugging these values in the equation.