Критерии подобия треугольников

Вещи часто называют похожими, когда физическая структура или узоры, которые они демонстрируют, имеют схожие свойства. Иногда два объекта могут различаться по размеру, но из-за их физического сходства их называют похожими объектами. Например, больший квадрат всегда будет похож на меньший квадрат. В Треугольниках, если размеры различаются, но форма у них одинаковая, то Треугольники можно назвать Подобными Треугольниками. Когда два треугольника объявлены подобными, их соответствующие углы всегда конгруэнтны (одинаковы по форме), а их стороны пропорциональны. Давайте узнаем больше о сходстве треугольников.

Подобные треугольники

Два или более треугольника подобны, если их соответствующие углы равны, а их стороны пропорциональны друг другу (отношение их сторон равно). Замечание вещей из нашей повседневной жизни или хороший взгляд в наших учебниках говорят нам, что существует так много объектов, похожих друг на друга, которых мы никогда не замечали. Например, медвежонок похож на свою мать, хотя мать относительно больше, такая же. понятие применяется здесь в треугольниках.

Разница между подобными треугольниками и конгруэнтными треугольниками

• In Similar Triangles, Shape is always same, but Size may vary.
• In Congruent Triangles, Both shape and size are equal.

ΔABC and ΔPQR are congruent Triangles

Теорема Фалеса или основная теорема пропорциональности

Известный греческий математик Фалес выдвинул универсальную теорему для треугольников: «В двух равнобедренных треугольниках (соответствующие углы обоих треугольников равны) отношение их соответствующих сторон всегда равно».

Как мы можем заметить, приведенные выше Два треугольника равноугольны.

∠A = ∠A [общий угол]

∠B = ∠D [соответствующие углы]

∠C = ∠E [соответствующие углы]

Следовательно, делается вывод: «Если провести прямую, параллельную одной стороне треугольника, чтобы пересечься на оставшихся двух сторонах, она разделит оставшиеся две стороны в том же отношении».

, DF//BC

Доказательство теоремы Фалеса

Если провести прямую, параллельную одной стороне треугольника, пересекающую другие стороны в разных точках, то деление двух других сторон происходит в том же отношении.

To Prove: 

Given: 

In ΔABC, DE is parallel to BC

Construction:

Join BE and CD and draw perpendicular to AC and AB from D and E.

Proof:

In ΔADE, Area of triangle = 1/2 × DE × EN ⇢ 1

Also, 1/2 × DE× DM ⇢ 2

In ΔBDE, Area of Triangle =1/2 × BD × EN ⇢ 3

In ΔDEC, Area of Triangle= 1/2 × EC × DM ⇢ 4

Dividing equation 1 and 3

⇢ 5

Dividing equation 2 and 4

⇢ 6

We know, area of ΔBDE and ΔDEC are equal, since BD is parallel to DE and they both have the same base DE

Now, from equation 5 and 6

Обратная теорема Фалеса

If a line divides any two sides of the triangle in the same ratio, then the line is parallel to the third side of the triangle

Proof:

Given: 

Construction:

Lets assume that line MN is not parallel to QR, Draw another line MK such that MK is parallel to QR

Now, in ΔPQR, 

⇢ 1

but, this is also provided that,

⇢ 2

But, K and N lie on the same line PR, Therefore, they coincide each other and are just the same point.

Therefore, MN and MK are the same line and MN is parallel to QR.

Критерии подобия треугольников.

Два треугольника называются подобными, когда их углы равны и их соответствующие стороны всегда находятся в одном и том же отношении, это то, что мы узнали до сих пор, однако нет необходимости доказывать все упомянутые выше вещи, чтобы показать подобие двух треугольников. Есть 3 более простых способа узнать, подобны ли два треугольника.

Теорема 1. Критерий подобия SSS.

Он гласит, что если в треугольнике все стороны пропорциональны сторонам других треугольников, то соответствующие углы всегда будут равны и, следовательно, оба треугольника подобны.

Proof:

To Prove: 

Given: ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F

Construction: Draw a line PQ in ΔDEF such that AB = DP, AC = DQ, BC = PQ

Proof: 

Reciprocal the fraction, 

Subtract equation by 1 on both sides

By the converse of BPT, PQ is parallel to EF

Therefore, ∠P = ∠E, ∠Q = ∠F (by corresponding angles)

Therefore, ΔDEF∼ ΔDPQ

BC=PQ, AB=DP, AC=DQ

ΔABC≅ ΔDPQ

∠A= ∠D, ∠B= ∠P, ∠C= ∠Q, ∠B= ∠E, ∠C= ∠F,

Hence, ΔABC ∼ ΔDEF

Теорема 2: Критерий подобия ААА ИЛИ АА

AAA относится к углам (всем трем) треугольников. В нем говорится: «Если два соответствующих угла обоих треугольников равны, то их соответствующие стороны всегда будут иметь одинаковое отношение, и треугольники являются подобными треугольниками».

AA — это еще одно название теоремы, поскольку при равенстве двух углов третий угол треугольников автоматически становится равным, поскольку сумма всегда равна 180°.

Proof:

Given: ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F

To Prove: 

Construction: Make a line PQ in ΔDEF such that AB=DP, AC=DQ, BC=PQ

Proof: In ΔABC and ΔDPQ 

AB=DP, AC=DQ, ∠A=∠D

By S.A.S Property of triangles, both the triangles are congruent to each other.

ΔABC≅ ΔDPQ

We can say, ∠B= ∠DPQ (By CPCT)

 ∠B= ∠E, Therefore ∠E = ∠DPQ 

By corresponding angles, it can be concluded that PQ is parallel to EF

With the help of Converse of Thales theorem,

Adding 1 to both LHS and RHS

Replace DP with AB and DQ with AC

Therefore, the ratio of corresponding sides is coming out to be equal as well.

Hence, ΔABC= ΔDEF

Теорема 3: Критерий подобия SAS

Если два угла обоих треугольников вместе с обеими сторонами, соединенными с ними, равны, то такие треугольники называются подобными треугольниками.

Доказательство

To Prove: ΔABC∼ ΔDEF

Given: ∠A= ∠D, 

Construction: Draw a line PQ in triangle ΔDEF Such that AB= DP, AC=DQ

Reciprocate the fraction, 

Subtracting both sides by 1, 

So, PQ is parallel to EF (by converse of BPT)

∠P= ∠E, ∠Q= ∠F (by corresponding angles)

ΔABC= ΔDPQ

∠A= ∠D, ∠B=∠P, ∠C=∠Q

Since ∠P=∠E, ∠Q= ∠F

Therefore, ∠A=∠D, ∠B= ∠E, ∠C= ∠F

ΔABC∼ ΔDEF

Теорема Пифагора

In a right-angled Triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of squares of other two sides

Proof:

Given: ΔPQR is a right angled Triangle and QS is perpendicular to PR

Proof:

We know that, ∠PQR= ∠QSR

∠P= ∠P

Therefore, Δ PQR∼ ΔQSR

QR²= PR× RS ⇢ 1 

Apply the same for Δ PQR and Δ PSQ

PQ²= PR× PS ⇢ 2

From 1 and 2,

PQ² + QR²= PR× RS + PR×  PS

PQ²+ QR²= PR (RS+ PS)

PQ²+ QR²= PR²

Hence, Proved.

Примеры проблем

Вопрос 1: На приведенном ниже рисунке XY параллелен BC, AX=2 см, XB= 3 см, а основание треугольника BC= 5 см. Затем найдите значение XY, используя теорему Фалеса.

Решение:

According to Thales theorem,

 

XY= 2cm

Вопрос 2: В прямоугольном треугольнике, показанном ниже, каково значение p через q.

Решение:

ABC is a right-angled triangle,

Using Pythagoras theorem, we get,

AC²= AB²+ BC²

P²= (4q)²+ (3q)²

P²= 16q+ 9q

p²= 25q

p= 5q

Вопрос 3: На приведенном ниже рисунке, когда PQ параллелен BC, найдите значение x.

Решение:

In the Triangle, PQ is parallel to BC, therefore, Thales theorem can be applied,

(3x-3)(2)= (x+2)(5)

6x-6= 5x+ 10

x = 16

Вопрос 4: Какими тремя способами можно доказать подобие двух треугольников?

Отвечать:

The three ways of Proving Similarity of Triangles are:

1. AAA similarity criterion (angle-angle-angle)
2. SAS Similarity criterion (side- angle- side)
3. SSS similarity criterion (side- side- side)

Вопрос 5: В треугольнике ABC линия DE проведена так, что ∠ABC = ∠DEC. Докажите, что ΔABC≅ ΔDEC.

Решение:

In ΔABC and ΔDEC, 

It is already given that ∠ABC= ∠DEC

And since, angle C is common in both the Triangles, we can say, 

∠ACB= ∠DCE

As two angles are equal, the third angle will automatically be equal since the sum of the three angles of a triangle is always 180°

Hence, from AAA Similarity Criterion, it can be concluded,

ΔABC ≅ ΔDEC

Вопрос 6: В прямоугольном равнобедренном треугольнике основание равно 2 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Решение:

The Triangle given in the question is a right-angled isosceles triangle and shall look something like this.

BC= 2cm

As it is an Isosceles triangle, AB= 2cm, 

According to Pythagoras theorem, AC²= AB² + BC²

AC²= 2²+ 2²

AC= √8 = 2√2cm

Вопрос 7: Чем SAS и SSS Criterion отличаются друг от друга?

Отвечать:

Both Criteria have same result, that is, they both proved the triangles to be Congruent to each other, but the method of proving them is very different. In SSS criterion, when all the three sides are known to be equal, then the two Triangles are Congruent in nature. In SAS criterion, when any two sides and the angles between those two sides are equal, then the Triangles are known to be Congruent.